Longitud y ángulo máximo de un péndulo (7668)

, por F_y_Q

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Un reloj de péndulo está construido de forma que el período coincide exactamente con 1 s y la amplitud de su movimiento es 5 cm, definidos en la proyección horizontal. Si lo aproximamos a un péndulo ideal como una masa de 1.5 kg colgada de una barra sin masa de longitud L y sin rozamiento:

a) Calcula la longitud de la barra y el ángulo máximo con el que oscila el péndulo.

b) Escribe la ecuación de la aceleración si sabemos que el movimiento comienza cuando la elongación es cero y determina el valor de la fuerza recuperadora en el instante 1.3 s.

P.-S.

Como conoces el periodo del péndulo, y este se relaciona con la longitud por medio de la ecuación:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}}}

Despejas el valor de la longitud y calculas:

L = \frac{T^2}{4\pi^2}\cdot g = \frac{1\ \cancel{s^2}}{4\pi^2}\cdot 9.8\ \frac{m}{\cancel{s^2}}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf L = 0.25\ m}}


El ángulo máximo en la oscilación lo calculas a partir de la definición de la tangente del ángulo. Sería el cociente entre la amplitud y la longitud del péndulo:

tg\ \theta = \frac{A}{L}\ \to\ \theta = arctg\ \frac{0.05\ \cancel{m}}{0.25\ \cancel{m}}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\theta = 11.3^o}}}


b) La ecuación de la aceleración la obtienes derivando la de la posición dos veces:

x = A\cdot sen\ (\omega\cdot t + \cancelto{0}{\phi})\ \to\ a = \frac{d^2 x}{dt}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{a = -A\cdot \omega^2\cdot sen\ (\omega\cdot t)}}}


La constante recuperadora la puedes escribir en función de los datos del enunciado:

\left \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \atop T = \frac{2\pi}{\omega} \right \}\ \to\ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{k = \frac{4\pi^2\cdot m}{T^2}}}

Esta constante recuperadora es necesaria para aplicar la ley de Hooke y obtener la fuerza recuperadora:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{F = -k\cdot x = -\frac{4\pi^2\cdot m\cdot A}{T^2}\cdot sen\ \left(\frac{2\pi}{T}\cdot t\right)}}

Sustituyes y calculas el valor:

F = -\frac{4\pi^2\cdot 1.5\ kg\cdot 0.05\ m}{1\ s^2}\cdot sen\ \left(\frac{2\pi}{1\ \cancel{s}}\cdot 1.3\ \cancel{s}\right) = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf -2.81\ N}}