PAU Madrid: química (junio 2026) - ejercicio 4A (8690)

, por F_y_Q

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Se pretende sintetizar metanol líquido, $$$ \text{CH}_3\text{OH}$$$, mediante la reacción del monóxido de carbono con hidrógeno molecular.

a) Escribe la ecuación química ajustada detallando el estado de las especies, y calcula la energía de Gibbs estándar de la reacción a 25 °C.

b) A 25 °C, la reacción de síntesis de metanol es termodinámicamente posible, pero cinéticamente muy lenta. Justifica razonadamente cuál o cuáles de las siguientes propuestas aumentan la velocidad de reacción:
i) Uso de un catalizador adecuado.
ii) Aumento de la temperatura de operación.
iii) Aumento de las presiones parciales de los reactivos.

c) En un experimento se han sintetizado 145 mL de metanol de densidad $$$ 0.786\ \text{g}\cdot \text{cm}^{-3}$$$. Suponiendo que el rendimiento de la reacción es del 87.0 %, calcula el volumen de hidrógeno que ha reaccionado, medido a 25 ºC y 0.980 atm.

Datos a 298 K:
$$$ \Delta \text{H}_\text{f}^0\ (\text{kJ}\cdot \text{mol}^{-1})$$$: $$$ \text{CH}_3\text{OH(l)} = −238.7$$$; $$$ \text{CO(g)} = −110.5$$$.
$$$ \text{S}^0\ (\text{J}\cdot \text{mol}^{-1}\cdot \text{K}^{-1})$$$: $$$ \text{CH}_3\text{OH(l)} = 126.8$$$; $$$ \text{CO(g)} = 197.7$$$; $$$ \text{H}_2\text{(g)} = 130.7$$$.
$$$ \text{R} = 0.0820\ \text{atm}\cdot \text{L}\cdot \text{mol}^{-1}\cdot \text{K}^{-1}$$$.
Masas atómicas (u): H = 1.0; C = 12.0; O = 16.0.

P.-S.

a) La ecuación química debe contener los estados de agregación de las especies a la temperatura indicada. Tienes que escribir la ecuación de formación del metanol:

$$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf \text{CO}(g) + 2\text{H}_2(g) \longrightarrow \text{CH}_3\text{OH}(l)}}$$$



Para calcular la variación de la energía libre de Gibbs debes usar la ecuación:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \Delta G^0 = \Delta H^0 - T\cdot \Delta S^0} \quad \text{Ec}.\ (1)$$$

Necesitas calcular las variaciones de entalpía y de entropía del proceso.

Variación de entalpía estándar de la reacción.

Lo haces a partir de las entalpías estándar de formación dadas en el enunciado:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \Delta H^0_R = \sum n_p\cdot \Delta H^0_f(productos) - \sum n_r\cdot \Delta H^0_f(reactivos)}$$$

La entalpía estándar de formación del hidrógeno es cero porque es un elemento, por lo que la variación de entalpía es:

$$$ \require{cancel} \Delta \text{H}^0_\text{R} = \Delta \text{H}^0_\text{f}[\text{CH}_3\text{OH}(l)] - \left(\Delta \text{H}^0_\text{f}[\text{CO}(g)] + 2 \cancelto{0}{\Delta \text{H}^0_\text{f}[\text{H}_2(g)]}\right) = -238.7 - (-110.5) = \color{royalblue}{\bf -128.2\ \dfrac{kJ}{mol}}$$$

Variación de la entropía estándar de la reacción.

La ecuación que utilizas es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \Delta S^0_R = \sum n_p\cdot S^0(productos) - \sum n_r\cdot S^0(reactivos)}$$$

A partir de los valores de las entropías dados en el enunciado:

$$$ \Delta \text{S}^0_\text{R} = \text{S}^0[\text{CH}_3\text{OH(l)}] - \left(\text{S}^0[\text{CO(g)}] + 2\cdot \text{S}^0[\text{H}_2\text{(g)}]\right) = 126.8 - \left(197.7 + 2\cdot 130.7\right) = \color{royalblue}{\bf -332.3\ \dfrac{J}{mol\cdot K}}$$$

Este dato debe estar expresado en las mismas unidades que la entalpía:

$$$ \require{cancel} \Delta \text{S}^0_R = -332.3\ \dfrac{\cancel{\text{J}}}{\text{mol}\cdot \text{K}}\cdot \dfrac{1\ \text{kJ}}{10^3\ \cancel{\text{J}}} = \color{royalblue}{\bf -0.332\ \dfrac{kJ}{mol\cdot K}}$$$

Cálculo de la variación de la energía libre de Gibbs.

Sustituyendo en la (Ec. 1) puedes hacer el cálculo que necesitas:

$$$ \require{cancel} \Delta \text{G}^0_\text{R} = -128.2\ \dfrac{\text{kJ}}{\text{mol}} - 298\ \cancel{\text{K}}\cdot (-0.332)\ \dfrac{\text{kJ}}{\text{mol}\cdot \cancel{\text{K}}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf -29.26\ kJ\cdot mol^{-1}}}$$$


Al ser un valor negativo, se confirma que la reacción es espontánea a la temperatura indicada.

b) Dado que la ecuación de la velocidad depende del valor de la constante de velocidad y las concentraciones de los reactivos, aumentando estos factores conseguiremos aumentar la velocidad de la reacción.

i) Un catalizador positivo provoca que disminuya la energía de activación de los reactivos, haciendo que aumente el valor de la constante de velocidad:

$$$ \color{forestgreen}{\bf k = A\cdot e^{-\frac{E_a}{RT}}} \quad \text{(Ec. Arrhenius)}$$$

Al ser un exponente negativo, la disminución del cociente en el exponente hace que el valor de «k» aumente, lo que hace que aumente también la velocidad de la reacción.

ii) El aumento de la temperatura hace que las partículas de los reactivos se muevan más rápido, aumentado el número de choques y la energía de estos, con lo que aumenta el números de choques efectivos y provoca el aumento de la velocidad de la reacción.

iii) El aumento de las presiones parciales de los reactivos equivale a aumentar sus concentraciones, con lo que aumentará el número de choques efectivos. También aumenta la velocidad de la reacción.

c) El primer paso es averiguar los moles de metanol que se han obtenido. Para ello, usas los datos de volumen y densidad del gas, y su masa molecular:

$$$ \require{cancel} \text{n}_{\text{CH}_3\text{OH}} = 145\ \cancel{\text{cm}^3}\cdot \dfrac{0.786\ \cancel{\text{g}}}{1\ \cancel{\text{cm}^3}}\cdot \dfrac{1\ \text{mol}}{(12 + 4\cdot 1 + 16)\ \cancel{\text{g}}} = \color{royalblue}{\bf 3.56\ mol\ CH_3OH}$$$

Teniendo en cuenta la estequiometría de la reacción, los moles de hidrógeno necesarios para obtener esos moles de metanol son:

$$$ \require{cancel} \text{n}_{\text{H}_2} = 3.56\ \cancel{\text{mol}\ \text{CH}_3\text{OH}}\cdot \dfrac{2\ \text{mol}\ \text{H}_2}{1\ \cancel{\text{mol}\ \text{CH}_3\text{OH}}} = \color{royalblue}{\bf 7.12\ mol\ H_2}$$$

El siguiente paso es calcular los moles de hidrógeno que tienen que formar parte de la reacción para que, siendo el rendimiento de la reacción del 87 %, puedan reaccionar de manera real los que acabas de calcular. La manera más simple de hacerlo es tener claro que necesitas más moles de hidrógeno que los que acabas de calcular, por lo que divides esa cantidad por el rendimiento de la reacción, expresado en tanto por uno:

$$$ \text{n}^{\prime}_{\text{H}_2} = \dfrac{7.12\ \text{mol H}_2}{0.87} = \color{royalblue}{\bf 8.18\ mol\ H_2}$$$

Usas la ecuación de los gases ideales para obtener el volumen de hidrógeno que ha reaccionado:

$$$ \require{cancel} \text{PV = nRT}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf{V = \dfrac{nRT}{P}}} = \dfrac{8.18\ \cancel{\text{mol}}\cdot 0.082\ \frac{\cancel{\text{atm}}\cdot \text{L}}{\cancel{\text{K}}\cdot \cancel{\text{mol}}}\cdot 298\ \cancel{\text{K}}}{0.98\ \cancel{\text{atm}}} \approx \color{firebrick}{\boxed{\bf 204\ L\ H_2}}$$$

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