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Ecuación de dimensiones del momento de inercia y homogeneidad de algunas fórmulas (8414)
Viernes 14 de marzo de 2025, por
Determina la ecuación de dimensiones del momento de inercia y comprueba la homogeneidad de las siguientes fórmulas físicas:
a) 
b) 
c) 
donde «N» es el momento del par, «I» es el momento de inercia, «t» es el tiempo y «
», «
» y «
» son, respectivamente, el ángulo de giro, la velocidad angular y la aceleración angular.
El momento de inercia se define como la resistencia de un cuerpo a cambiar su estado de rotación. Para una partícula puntual, se expresa en función de la masa y de la distancia al eje de rotación con la fórmula:
![\color[RGB]{2,112,20}{\bm{I = m\cdot r^2}}](local/cache-vignettes/L102xH20/173ea00d5eba9983b6e0c9947da8e9c6-48756.png?1741951453 "\color[RGB]{2,112,20}{\bm{I = m\cdot r^2}}"){kind=small}
Su ecuación dimensional es
![\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{[I] = [M]\cdot [L]^2}}}](local/cache-vignettes/L166xH35/eb8c1d35099aa055257047af89aa4b82-6f862.png?1741951453 "\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{[I] = [M]\cdot [L]^2}}}"){kind=small}
La segunda parte del ejercicio es la comprobación de la homogeneidad de las fórmulas físicas, es decir, comprobar que las dimensiones son las mismas en ambos miembros de cada ecuación.
a) «N» es el momento del par, «I» es el momento de inercia y «
» la aceleración angular. Sus dimensiones son: ![\left {[N]} = F\cdot r = [M]\cdot [L]\cdot [T]^{-2}\cdot [L]\ \to\ {\color[RGB]{2,112,20}{\bm{[N] = [M]\cdot [L]^2\cdot [T]^{-2}}}} \atop {\color[RGB]{2,112,20}{\bm{[\alpha] = [T]^{-2}}}} \right \}](local/cache-vignettes/L608xH53/921a07fdf2fee83e18b96d3f6737b9bf-45818.png?1741951453 "\left {[N]} = F\cdot r = [M]\cdot [L]\cdot [T]^{-2}\cdot [L]\ \to\ {\color[RGB]{2,112,20}{\bm{[N] = [M]\cdot [L]^2\cdot [T]^{-2}}}} \atop {\color[RGB]{2,112,20}{\bm{[\alpha] = [T]^{-2}}}} \right \}")
Ahora verificas que la ecuación sea homogénea:
![N = I\cdot \alpha\ \to\ \color[RGB]{0,112,192}{\bm{[M]\cdot [L]^2\cdot [T]^{-2} = ([M]\cdot [L]^2)\cdot [T]^{-2}}}](local/cache-vignettes/L517xH25/8a4f74fca29d410b732940358e5da25d-6515f.png?1741951453 "N = I\cdot \alpha\ \to\ \color[RGB]{0,112,192}{\bm{[M]\cdot [L]^2\cdot [T]^{-2} = ([M]\cdot [L]^2)\cdot [T]^{-2}}}"){kind=small}
Como puedes ver, ambos miembros son iguales. Esto quiere decir que la fórmula es homogénea.
b) El tiempo «t» es una magnitud fundamental y la velocidad angular tiene dimensiones
![[T]^{-1}](local/cache-vignettes/L47xH47/e0cb4c390d78119a806332171299350c-fd065.png?1732958350 "[T]^{-1}"){kind=small}
: ![N \cdot t = \Delta (I\cdot \omega)\ \to \color[RGB]{0,112,192}{\bm{([M]\cdot [L]^2\cdot T^{-\cancelto{1}{2}})\cdot \cancel{[T]} = ([M]\cdot [L]^2)\cdot T^{-1}}}](local/cache-vignettes/L607xH41/e2cc2ec4c6a75acf92d01f145b1d8a23-7bd83.png?1741951453 "N \cdot t = \Delta (I\cdot \omega)\ \to \color[RGB]{0,112,192}{\bm{([M]\cdot [L]^2\cdot T^{-\cancelto{1}{2}})\cdot \cancel{[T]} = ([M]\cdot [L]^2)\cdot T^{-1}}}"){kind=small}
Al igual que antes, ambos miembros son iguales, por lo que la fórmula es homogénea.
c) Procedes de manera análoga a los apartados anteriores:
![N\cdot \phi = \Delta \left(\frac{1}{2}\cdot I\cdot \omega^2\right)\ \to\ \color[RGB]{0,112,192}{\bm{([M]\cdot [L]^2\cdot [T]^{-2})\cdot 1 = ([M]\cdot [L]^2)\cdot ([T]^{-1})^2}}](local/cache-vignettes/L672xH49/1477b7bba4222abdb9d743818a28a292-142ff.png?1758396096 "N\cdot \phi = \Delta \left(\frac{1}{2}\cdot I\cdot \omega^2\right)\ \to\ \color[RGB]{0,112,192}{\bm{([M]\cdot [L]^2\cdot [T]^{-2})\cdot 1 = ([M]\cdot [L]^2)\cdot ([T]^{-1})^2}}"){kind=small}
La conclusión es que la ecuación es homogénea.