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Operaciones con vectores (5945)

Jueves 31 de octubre de 2019, por F_y_Q

Para los siguientes vectores: $\vec A = (4, -1, -6)$ ; $\vec B = (5, 7, -2)$ ; $\vec C = (-8, -5, 2)$ y $\vec D = (9, -4, 0)$ , determina:

a) $(\vec A + \vec B)$ ; $(\vec A - \vec B)$ ; $(\vec D + \vec C)$ ; $(\vec A - \vec D)$ .

b) La magnitud de cada vector y los ángulos que forman con los ejes x , y , z.

c) Los productos escalares: $\vec A\cdot \vec B$ ; $\vec D\cdot \vec C$ ; $\vec B\cdot \vec C$ ; $\vec B\cdot \vec D$ .

d) Los productos vectoriales: $\vec A\times \vec B$ ; $\vec D\times \vec C$ ; $\vec B\times \vec C$ ; $\vec B\times \vec D$

a) Para obtener las sumas y diferencias entre vectores tan solo debemos hacer esas sumas o diferencias entre sus componentes:

$(\vec A + \vec B) = [(4 + 5), (-1 + 7), (-6 - 2)] = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf (9, 6, -8)}}$

$(\vec A - \vec B) = [(4 - 5), (-1 - 7), (-6 + 2)] = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf (-1, -8, -4)}}$

Operando del mismo modo, las otras dos operaciones resultan:

$(\vec D + \vec C) = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf (1, -9, 2)}}$

$(\vec A - \vec D) = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf (-5, 3, -6)}}$

b) Los cosenos directores de los vectores se obtienen al hacer el cociente entre cada una de las componentes del vector y su módulo. Lo hacemos para el vector $\vec A$ y luego ponemos los resultados para el resto de los vectores. En primer lugar calculamos el módulo del vector:

$A = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + (-6)^2} = \color[RGB]{2,112,10}{\bm{\sqrt{53}}}$ .

Eje X:

$cos\ \alpha = \frac{A_x}{A}\ \to\ \alpha = arccos\ \frac{4}{\sqrt{53}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{56.7^o}}}$

Eje Y:

$cos\ \beta = \frac{A_y}{A}\ \to\ \beta = arccos\ \frac{-1}{\sqrt{53}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{97.9^o}}}$

Eje Z:

$cos\ \gamma = \frac{A_y}{A}\ \to\ \gamma = arccos\ \frac{-6}{\sqrt{53}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{145.5^o}}}$

Para el vector $\vec B$ , su módulo es $B = \sqrt{78}$ :

$\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\alpha = 55.5^o\ ;\ \beta = 37.6^o\ ;\ \gamma = 103.1^o}}}$

Para el vector $\vec C$ , su módulo es $C = \sqrt{93}$ :

$\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\alpha = 146^o\ ;\ \beta = 121.2^o\ ;\ \gamma = 78^o}}}$

Para el vector $\vec D$ , su módulo es $D = \sqrt{117}$ :

$\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\alpha = 33.7^o\ ;\ \beta = 111.7^o\ ;\ \gamma = 90^o}}}$

c) El producto escalar de dos vectores es un número y se obtiene multiplicando las componentes entre sí. Lo hacemos para el primer caso y luego ponemos el resultado para el resto de operaciones:

$\vec A\cdot \vec B = (A_x\cdot B_x) + (A_y\cdot B_y) + (A_z\cdot B_z)$

$\vec A\cdot \vec B = (4\cdot 5) + (-1\cdot 7) + [-6\cdot (-2)] = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 25}}$

$\vec D\cdot \vec C = [9\cdot (-8)] + [(-4)\cdot (-5)] + (0\cdot 2) = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf -52}}$

$\vec B\cdot \vec C = [5\cdot (-8)] + [7\cdot (-5)] + (-2\cdot 2) = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf -79}}$

$\vec B\cdot \vec D = (5\cdot 9) + [7\cdot (-4)] + (-2\cdot 0) = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 17}}$

d) El resultado del producto vectorial de dos vectores es un vector que es perpendicular al plano que foman los vectores multiplicados. Se obtienen las componentes de este vector a partir de la resolución de un determinante. Los hacemos para el primer caso y escribimos las soluciones del resto:

$\vec A\times \vec B = \left| \begin{array}{ccc} \vec i & \vec j & \vec k\\ 4 & -1 & -6\\ 5 & 7 & -2 \end{array} \right| = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{44\vec i - 22\vec j + 33\vec k}}}$