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Producto escalar de vectores y cosenos directores (2287)

Miércoles 23 de octubre de 2013, por F_y_Q

Dado el vector \vec A = 4\vec i + 5\vec j - 2\vec k y conociendo que el módulo de B = 10 m y que sus ángulos directores son \alpha = 60 ^o , \beta > 90 ^o y \gamma = 120 ^o, determina el ángulo que forman el vector (A - B) con el vector B.

Primero vamos a determinar las componentes del vector \vec B:

cos\ \alpha = \frac{B_x}{B}\ \to\ B_x = B\cdot cos\ \alpha = 10\cdot cos\ 60 = 5

cos\ \gamma = \frac{B_z}{B}\ \to\ B_z = B\cdot cos\ \gamma = 10\cdot cos\ 120 = - 5

Los cosenos directores deben cumplir la siguiente condición:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{cos^2\ \alpha + cos^2\ \beta + cos^2\ \gamma = 1}}


Como los valores de los cosenos están al cuadrado, vemos que el cos\ \beta = \frac{\sqrt 2}{2} . Pero debe ser negativo porque nos dicen que es un ángulo mayor que 90 ^o. Puede ser 225 ^o o 315 ^o, porque ambos ángulos cumplen con ambas condiciones.

B_y = 10\cdot \frac{\sqrt 2}{2} = - 5\cdot \sqrt 2

Hacemos ahora el vector \vec C = \vec A - \vec B:

\vec C = (4-5)\vec i + (5 + 5\sqrt 2)\vec j + (-2+5)\vec k

Por comodidad trabajamos con números decimales para la componente "y" y calculamos el módulo de C:

C = \sqrt{1^2 + 12.07^2 + 3^2} = 12.48
Al estar al cuadrado siempre nos queda positivo.

Ahora hacemos el producto escalar de los vectores \vec B y \vec C. Hay dos formas de hacer ese producto escalar:

\vec B\cdot \vec C = B\cdot C\cdot cos\ \theta

\vec B\cdot \vec C = B_x\cdot C_x + B_y\cdot C_y + B_z\cdot C_z

Igualando ambas expresiones y despejando cos\ \theta:

cos\ \theta = \frac{B_x\cdot C_x + B_y\cdot C_y + B_z\cdot C_z}{B\cdot C} = \frac{-105.33}{124.8}\ \to\ \theta = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{147.6^o}}}

Mensajes

  • Hay algo que no entiendo porque es negativo? el angulo de Beta si dicen que en los otros 2 ángulos cumplen con ambas condiciones si alfa es menor a 90 esa no cumple ? quiero que me expliquen bien en esa parte?

    • El enunciado impone la condición de que el ángulo beta ha de ser mayor que 90º. El coseno del ángulo beta es compatible con el valor 45º pero este valor no es mayor que 90º, por lo que los ángulos que cumplen la condición de ser mayores que 90º son 225º y 315º. Lo que es negativo es la componente "y" del vector B.

  • Tengo una duda ¿por qué la componente z=-2 del vector A está positiva?

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