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Velocidad angular de un cuerpo que gira por el peso de otro (7340)
Martes 14 de septiembre de 2021, por
Se sujeta una masa de 2.00 kg a una cuerda que pasa por un pequeño orificio en una mesa sin fricción. Al inicio, la masa se encuentra moviéndose en un círculo de r = 0.50 m, con una rapidez de 1.00 m/s.
a) Si se tira de la cuerda hasta disminuir el radio a 0.25 m, ¿con qué rapidez angular gira la masa en este instante?
b) ¿Cuál es la tensión en la cuerda al inicio, bajo las condiciones del inciso anterior?
b) Puedes empezar la resolución del problema calculando la tensión de la cuerda porque solo depende de la masa del cuerpo que cuelga:
![T = M\cdot g = 2\ kg\cdot 9.8\ \frac{m}{s^2} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 19.6\ N}}](local/cache-vignettes/L266xH31/9151f278b06e3495b146590df55213b2-7508d.png?1732953054 "T = M\cdot g = 2\ kg\cdot 9.8\ \frac{m}{s^2} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 19.6\ N}}"){kind=small}
a) Al describir un movimiento circular, la resultante de las fuerzas sobre la masa que gira tiene que ser igual a la fuerza centrípeta. La única fuerza que se aplica sobre ella es la tensión de la cuerda si prescindes de rozamientos:
![F_{ct} = T\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{m\cdot \frac{v^2}{r} = M\cdot g}}](local/cache-vignettes/L208xH39/117f95b7c45de1956c7f0b9f80820a16-9249c.png?1732953054 "F_{ct} = T\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{m\cdot \frac{v^2}{r} = M\cdot g}}"){kind=small}
Puedes escribir las velocidades en función de la velocidad angular:
![\color[RGB]{2,112,20}{\bm{m\cdot \omega^2\cdot r = M\cdot g}}](local/cache-vignettes/L138xH19/56012262c573d569edbfede45e1d8b80-b7365.png?1732953054 "\color[RGB]{2,112,20}{\bm{m\cdot \omega^2\cdot r = M\cdot g}}"){kind=small}
Si comparas las dos situaciones, es decir, si haces el cociente entre la igualdad antes y después de que se acorte el radio, y teniendo en cuenta que la tensión es la misma en ambos casos:
![\frac{\cancel{m}\cdot \omega_1^2\cdot r_1}{\cancel{m}\cdot \omega_2^2\cdot r_2} = \frac{\cancel{M\cdot g}}{\cancel{M\cdot g}}\ \to\ \frac{\omega_1^2}{\omega_2^2} = \frac{r_2}{r_1}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\omega_2^2 = \frac{r_1\cdot \omega_1^2}{r_2}}}](local/cache-vignettes/L365xH42/a25041b3b3b2d2d0b685fd60bcd2235e-fb1a9.png?1732953054 "\frac{\cancel{m}\cdot \omega_1^2\cdot r_1}{\cancel{m}\cdot \omega_2^2\cdot r_2} = \frac{\cancel{M\cdot g}}{\cancel{M\cdot g}}\ \to\ \frac{\omega_1^2}{\omega_2^2} = \frac{r_2}{r_1}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\omega_2^2 = \frac{r_1\cdot \omega_1^2}{r_2}}}"){kind=small}
Si reescribes la ecuación en función de la velocidad lineal de la masa, que es el dato del enunciado, obtienes:
![\omega_2 = \sqrt{\frac{\cancel{r_1}\cdot v_1^2}{r_2\cdot r_1\cancel{^2}}} = \sqrt{\frac{1^2\ \frac{\cancel{m^2}}{s^2}}{0.25\ \cancel{m}\cdot 0.5\ \cancel{m}}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{2.83\ s^{-1}}}}](local/cache-vignettes/L345xH53/f0704b24638e5f6ce7ca8033c6c78383-d874d.png?1732953054 "\omega_2 = \sqrt{\frac{\cancel{r_1}\cdot v_1^2}{r_2\cdot r_1\cancel{^2}}} = \sqrt{\frac{1^2\ \frac{\cancel{m^2}}{s^2}}{0.25\ \cancel{m}\cdot 0.5\ \cancel{m}}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{2.83\ s^{-1}}}}")