Ejercicio competencial: calibración de un espectrómetro magnético con polonio-210 (8702)

, por F_y_Q

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En un laboratorio de física nuclear se utiliza una muestra de polonio-210 ($$$ ^{210}_{84}\text{Po}$$$), que es un emisor alfa puro, para calibrar un espectrómetro magnético. Las partículas alfa ($$$ ^{4}_{2}\text{He}$$$) emitidas son inyectadas en una cámara donde se aplica un campo magnético uniforme de 0.500 T, perpendicular a su velocidad, para determinar su momento lineal. Durante la desintegración, el núcleo hijo de plomo-206 ($$$ ^{206}_{82}\text{Pb}$$$) puede quedar en un estado excitado y, al relajarse, emite un fotón de una energía de $$$ 4.87\cdot 10^{-13}\ \text{J}$$$.

Para la puesta a punto del equipo de detección, los técnicos utilizan una espira circular de radio 0.1 m y resistencia de $$$ 0.5\ \Omega$$$, situada en el interior de un solenoide que genera un campo magnético variable, que es perpendicular a la espira, según la ley $$$ \text{B}(\text{t}) = 0.5\cdot \left(1 - \text{e}^{-2\text{t}}\right)\ \text{T}$$$, expresada en segundos, simulando las perturbaciones del campo en la cámara.

Responde razonadamente a las siguientes cuestiones:

a) Escribe la reacción nuclear ajustada que tiene lugar en la muestra. Sabiendo que el fotón emitido es una onda electromagnética, calcula su frecuencia y su longitud de onda. ¿A qué zona del espectro electromagnético pertenece?

b) Si las partículas alfa describen una trayectoria circular de radio 0.250 m dentro del espectrómetro, determina la velocidad con la que fueron emitidas. Justifica físicamente por qué la trayectoria es circular y qué ocurriría con el radio si la velocidad de las partículas fuera el doble.

c) Calcula la fuerza electromotriz inducida y la intensidad de corriente que circulará por la espira de calibración en el instante 1 s. Explica brevemente el significado físico del signo de la «fem» inducida.

d) La muestra inicial tiene una masa de 1 mg. Calcula el número de núcleos de polonio-210 que quedarán sin desintegrar después de 30 días y la actividad de la muestra en ese instante, en unidades SI.

Datos: $$$ \text{m}_\alpha = 6.64\cdot 10^{-27}\ \text{kg}$$$; $$$ \text{e} = 1.60\cdot 10^{-19}\ \text{C}$$$; $$$ \text{h} = 6.63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot \text{s}$$$; $$$ \text{c} = 3\cdot 10^8\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1}$$$; $$$ \text{N}_\text{A} = 6.022\cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$$$; $$$ \text{M}_{\text{Po}} = 210\ \text{g}\cdot \text{mol}^{-1}$$$; $$$ \tau_{\text{Po}} = 138.4\ \text{días}$$$.

P.-S.

a) La reacción nuclear es una desintegración alfa de un núcleo de polonio-210 que produce un núcleo de plomo-206 y una radiación gamma al relajarse:

$$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf ^{210}_{84}Po \longrightarrow\ ^{206}_{82}Pb + ^{4}_{2}He + E}}$$$


A partir de la ecuación de Planck puedes obtener la frecuencia de la radiación:

$$$ \text{E} = \text{h}\cdot \nu\ \to\ \color{forestgreen}{\bf \nu = \dfrac{E}{h}}$$$

Sustituyes los datos y calculas:

$$$ \require{cancel} \nu = \dfrac{4.87\cdot 10^{-13}\ \cancel{\text{J}}}{6.63\cdot 10^{-34}\ \cancel{\text{J}}\cdot \text{s}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 7.35\cdot 10^{20}\ s^{-1}}}$$$


El producto de la frecuencia por la longitud de onda es igual a la velocidad de propagación de la onda, por lo que la longitud de onda de la radiación es:

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{\lambda = \dfrac{c}{\nu}}} = \dfrac{3\cdot 10^8\ \text{m}\cdot \cancel{\text{s}^{-1}}}{7.35\cdot 10^{20}\ \cancel{\text{s}^{-1}}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 4.08\cdot 10^{-13}\ m}}$$$


Esta longitud de onda es del orden del diámetro de un núcleo atómico, por lo que pertenece a la zona de los rayos gamma del espectro electromagnético.

b) Cuando una partícula cargada eléctricamente entra en un campo magnético, con dirección perpendicular al campo, la fuerza magnética que se establece entre el campo y la partícula es perpendicular al plano que forman ambas magnitudes, como establece la ecuación de Lorentz:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \vec{F}_M = q\cdot \vec{v}\times \vec{B}}$$$

Al definirse como un producto vectorial, la dirección de la fuerza es perpendicular al plano que forman la velocidad y el campo.

La fuerza magnética no realiza trabajo porque no modifica el módulo de la velocidad, pero sí su dirección, obligando a la partícula a describir un movimiento circular uniforme. Como la fuerza resultante de un MCU es la fuerza centrípeta, puedes igualarla a la fuerza magnética y despejar la velocidad:

$$$ \text{F}_\text{M} = \text{F}_{\text{ct}}\ \to\ \text{q}_{\alpha}\cdot \text{v}\cdot \text{B} = \text{m}\cdot \dfrac{\text{v}^2}{R}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf v = \dfrac{q_{\alpha}\cdot B\cdot R}{m}}\quad (\text{Ec}.1)$$$

La carga de la partícula «$$$ \alpha$$$» es el doble de la carga del electrón. Si sustituyes en la ecuación y calculas:

$$$ \require{cancel} \text{v} = \dfrac{2\cdot 1.6\cdot 10^{-19}\ \text{C}\cdot 0.5\ \text{T}\cdot 0.25\ \text{m}}{6.64\cdot 10^{-27}\ \text{kg}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 6.02\cdot 10^{6}\ m\cdot s^{-1}}}$$$


Si despejas el valor del radio «R» en la Ec.1 obtienes la ecuación:

$$$ \color{forestgreen}{\bf R = \dfrac{m\cdot v}{q\cdot B}}$$$

Puedes ver que el radio de la trayectoria es directamente proporcional a la velocidad. Por tanto, si la velocidad se duplica, el radio de la circunferencia también se duplicará.

c) El flujo magnético instantáneo a través de la espira es:

$$$ \Phi(\text{t}) = \vec{\text{B}}\cdot \vec{\text{S}}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf \Phi(t) = B\cdot S\cdot cos\ \alpha}$$$

Como el campo magnético es perpendicular a la espira el coseno del ángulo es uno. Como sabes el radio de la espira puedes calcular su superficie. Si sustituyes en la ecuación y calculas:

$$$ \Phi(\text{t}) = \left[0.5\cdot \left(1 - \text{e}^{-2\text{t}}\right)\right] \text{T}\cdot \pi\cdot 0.1^2\ \text{m}^2\ \to\ \color{royalblue}{\bf \Phi(t) = 1.57\cdot 10^{-2}\left(1 - e^{-2t}\right)\ T\cdot m^2}$$$

A partir de la ley de Faraday puedes calcular la «fem» inducida si derivas la expresión anterior con respecto al tiempo:

$$$ \varepsilon(t) = -\dfrac{d\Phi}{dt} = -1.57\cdot 10^{-2}\left[0 -(-2\cdot e^{-2t})\right]\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf \Phi(t) = 3.14\cdot 10^{-2}\cdot e^{-2t}\ T\cdot m^2}}$$$


En el instante t = 1 s la «fem» es:

$$$ \varepsilon(1) = -3.14\cdot 10^{-2}\cdot e^{-2} = \color{royalblue}{\bf -4.25\cdot 10^{-3}\ V}$$$

El signo negativo indica que la «fem» se opone a la variación de flujo que la produce.

Aplicando la ley de Ohm, porque conoces la resistencia de la espira, obtienes la intensidad de la corriente inducida. Tomo en valor absoluto la «fem» calculada:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{I = \dfrac{\varepsilon}{R}}} = \dfrac{4.25\cdot 10^{-3}\ \text{V}}{0.5\ \Omega} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 8.5\cdot 10^{-3}\ A}}$$$



d) Lo primero que debes calcular es el número inicial de núcleos y lo haces a partir de la masa de polonio-210:

$$$ \require{cancel} \text{N}_0 = 1\ \cancel{\text{mg}}\cdot \dfrac{10^{-3}\ \cancel{\text{g}}}{1\ \cancel{\text{mg}}}\cdot \dfrac{1\ \cancel{\text{mol}}}{210\ \cancel{\text{g}}}\cdot \dfrac{6.022\cdot 10^{23}\ \text{núcleos}}{1\ \cancel{\text{mol}}} = \color{royalblue}{\bf 2.87\cdot 10^{18}\ \text{núcleos}}$$$

La constante de desintegración es la inversa de la vida media:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\lambda = \dfrac{1}{\tau}}} = \dfrac{1}{138.4\ \text{días}} = \color{royalblue}{\bf 7.23\cdot 10^{-3}\ \text{días}^{-1}}$$$

A partir de la ley de desintegración puedes calcular los núcleos que quedarán sin desintegrar tras 30 días:

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{N(t) = N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}}}\ \to\ \text{N}(30) = 2.87\cdot 10^{18}\ \text{núcleos}\cdot e^{-7.23\cdot 10^{-3}\cdot 30} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 2.31\cdot 10^{18}\ \text{núcleos}}}$$$


La actividad en ese instante sigue la ecuación:

$$$ \color{forestgreen}{\bf A(t) = \lambda\cdot N(t)}$$$

Antes de sustituir en la ecuación debes expresar la constante de desintegración en segundos:

$$$ \require{cancel} \lambda = 7.23\cdot 10^{-3}\ \cancel{\text{días}^{-1}}\cdot \dfrac{1\ \cancel{\text{días}}}{86\ 400\ \text{s}} = \color{royalblue}{\bf 8.37\cdot 10^{-8}\ s^{-1}}$$$

Ya puedes sustituir en la ecuación y calcular la actividad:

$$$ \text{A}(30) = 8.37\cdot 10^{-8}\ \text{s}^{-1}\cdot 2.31\cdot 10^{18}\ \text{núcleos} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 1.93\cdot 10^{11}\ Bq}}$$$

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