EBAU Madrid: física (junio 2021) - ejercicio B.5 (7996)

, por F_y_Q

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Un isótopo de una muestra radiactiva posee un periodo de semidesintegración de 5 730 años.

a) Obtén la vida media y la constante radiactiva del isótopo.

b) Si una muestra tiene 5\cdot 10^{20} átomos radiactivos en el momento inicial, calcula la actividad inicial y el tiempo que debe trascurrir para que dicha actividad se reduzca a la décima parte.

P.-S.

a) La vida media es función del periodo de semidesintegración y su cálculo es inmediato:

{\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\tau = \frac{T_{1/2}}{ln\ 2}}}} = \frac{5\ 730\ a\tilde{n}os}{ln\ 2} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{8\ 267\ a\tilde{n}os}}}


La constante radiactiva es la inversa de la vida media:

{\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\lambda = \frac{1}{\tau}}}} = \frac{1}{8\ 267\ a\tilde{n}os} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{1.21\cdot 10^{-4}\ a\tilde{n}os^{-1}}}}


b) La actividad es el producto de la constante radiactiva por el número de núcleos. Para calcular la actividad inicial:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{A = \lambda\cdot N_0}}

El valor de la constante radiactiva debes expresarlo en unidades SI:

\lambda = 1.21\cdot 10^{-4}\ \cancel{a\tilde{n}os^{-1}}\cdot \frac{1\ \cancel{a\tilde{n}o}}{(365\cdot 24\cdot 3.6\cdot 10^3)\ s} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{3.84\cdot 10^{-12}\ s^{-1}}}

Sustituyes y calculas la actividad inicial:

A = 3.84\cdot 10^{-12}\ s^{-1}\cdot 5\cdot 10^{20}\ n\acute{u}cleos = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{1.92\cdot 10^9\ Bq}}}


Ahora usas la expresión para el decaimiento radiactivo y despejas el tiempo:

A = A_0\cdot e^{-t/\tau}\ \to\ ln\ \left(\frac{A}{A_0}\right) = \frac{-t}{\tau}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{t = \tau\cdot ln\ \left(\frac{A_0}{A}\right)}}

Como A tiene que ser la décima parte de A_0, el cociente de la ecuación anterior es igual a 10. Sustituyes y calculas:

t = 8\ 267\ a\tilde{n}os\cdot ln\ (10) = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{19\ 035\ a\tilde{n}os}}}

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