PAU Andalucía: física (junio 2026) - bloque D - cuestión b2 (8656)

, por F_y_Q

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Un protón y un electrón son acelerados por una diferencia de potencial de 0.075 V. i) Determina la energía cinética de ambas partículas. ii) Determina, razonadamente, las longitudes de onda de De Broglie asociadas a ambas partículas.

$$$ \text{h} = 6.63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot \text{s}$$$; $$$ \text{e} = 1.6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$$$; $$$ \text{m}_\text{e} = 9.1\cdot 10^{-31}\ \text{kg}$$$; $$$ \text{m}_\text{p} = 1.67\cdot 10^{-27}\ \text{kg}$$$

P.-S.

Cuando una partícula cargada, en reposo, se somete a una diferencia de potencial, el trabajo eléctrico al que se somete se transforma íntegramente en energía cinética, dado que el campo eléctrico es conservativo. La ecuación que relaciona a la energía cinética con la diferencia de potencial es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf E_C = q\cdot \Delta V}$$$

i) La carga del protón y del electrón es la misma, en valor absoluto, por lo que, al ser acelerados por la misma diferencia de potencial, ambos tendrán la misma energía cinética. Sustituyes en la ecuación anterior los valores y calculas:

$$$ \text{E}_\text{C} = 1.6\cdot 10^{-19}\ \text{C}\cdot 0.075\ \text{V} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 1.2\cdot 10^{-20}\ J}}$$$



ii) La hipótesis de De Broglie explica que toda partícula en movimiento tiene una onda asociada cuya longitud de onda es función de su masa y su velocidad. La ecuación que establece la relación es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \lambda = \dfrac{h}{m\cdot v}}$$$

Como conoces la energía cinética de ambas partículas, puede ser una buena estrategia escribir el cociente de la ecuación anterior en función de ella. La deducción es la siguiente:

$$$ \require{cancel} \left. \begin{aligned} &\text{E}_\text{C} = \dfrac{\text{m}}{2}\cdot \text{v}^2\ \to\ \color{forestgreen}{\bf v = \sqrt{\dfrac{2E_C}{m}}} \\ &\color{forestgreen}{\bf \lambda = \dfrac{h}{m\cdot v}} \end{aligned} \right \}\ \longrightarrow\ \lambda = \dfrac{\text{h}}{\text{m}\cdot \sqrt{\dfrac{2\text{E}_\text{C}}{\text{m}}}}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf \lambda = \dfrac{h}{\sqrt{2mE_C}}}$$$

Como la energía cinética de ambas partículas es la misma, sus longitudes de onda solo dependen del valor de la masa de cada una. Como la masa del protón es mayor que la masa del electrón, la longitud de onda del protón ha de ser menor que la del electrón.

La longitud de onda asociada al electrón es:

$$$ \lambda_\text{e} = \dfrac{6.63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot \text{s}}{\sqrt{2\cdot 9.1\cdot 10^{-31}\ \text{kg}\cdot 1.2\cdot 10^{-20}\ \text{J}}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 4.49\cdot 10^{-9}\ m}}$$$



El cálculo es análogo para el protón:

$$$ \lambda_\text{p} = \dfrac{6.63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot \text{s}}{\sqrt{2\cdot 1.67\cdot 10^{-27}\ \text{kg}\cdot 1.2\cdot 10^{-20}\ \text{J}}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 1.05\cdot 10^{-10}\ m}}$$$



Como puedes ver, se cumple la predicción hecha anteriormente.

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