PAU Madrid: física (junio 2026) - ejercicio 2A (8704)

, por F_y_Q

|

Se ha situado un satélite de comunicaciones de masa 1 500 kg en una órbita circular alrededor de la Tierra. La energía mecánica del satélite en su órbita es $$$ -4.51\cdot 10^{10}\ \text{J}$$$.

a) Calcula el radio de la órbita y la velocidad del satélite en ella.

b) ¿Cuántas vueltas alrededor de la Tierra da el satélite en un día?

c) Determina la velocidad de escape del satélite desde su órbita.

Datos: $$$ \text{G} = 6.67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot \text{m}^2\cdot \text{kg}^{-2}$$$; $$$ \text{M}_\text{T} = 5.97\cdot 10^{24}\ \text{kg}$$$.

P.-S.

a) Como conoces el valor de la energía mecánica del satélite, puedes despejar el valor del radio de la órbita:

$$$ \text{E}_\text{M} = \text{E}_\text{C} + \text{E}_\text{P} = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\text{G}\cdot\text{M}_\text{T}\cdot \text{m}}{\text{R}} - \dfrac{\text{G}\cdot \text{M}_\text{T}\cdot \text{m}}{\text{R}}\ \to\ \text{E}_\text{M} = -\dfrac{\text{G}\cdot \text{M}_\text{T}\cdot \text{m}}{\text{2R}}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf R = -\dfrac{G\cdot M_T\cdot m}{2E_M}}$$$

Sustituyes en la ecuación y calculas el radio de la órbita:

$$$ \require{cancel} \text{R} = -\dfrac{6.67\cdot 10^{-11}\ \dfrac{\cancel{\text{N}}\cdot \text{m}\cancel{^2}}{\cancel{\text{kg}^2}}\cdot 5.97\cdot 10^{24}\ \cancel{\text{kg}}\cdot 1.5\cdot 10^3\ \cancel{\text{kg}}}{2\cdot (-4.51\cdot 10^{10})\ \cancel{\text{N}}\cdot \cancel{\text{m}}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 6.62\cdot 10^6\ m}}$$$


Para que el satélite gire en una órbita circular es necesario que la fuerza centrípeta sea igual a la fuerza de atracción gravitatoria. Si igualas ambas ecuaciones puedes despejar el valor de la velocidad en la órbita:

$$$ \require{cancel} \text{F}_\text{G} = \text{F}_{\text{ct}}\ \to\ \text{G}\cdot \dfrac{\text{M}_\text{T}\cdot \cancel{\text{m}}}{\text{R}\cancel{^2}} = \dfrac{\cancel{\text{m}}\cdot \text{v}^2}{\cancel{\text{R}}}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf v = \sqrt{\dfrac{G \cdot M_T}{R}}}$$$

Conoces los datos, por lo que puedes hacer el cálculo:

$$$ \require{cancel} \text{v} = \sqrt{\dfrac{6.67\cdot 10^{-11}\ \dfrac{\text{N}\cdot \text{m}\cancel{^2}}{\text{kg}\cancel{^2}}\cdot 5.97\cdot 10^{24}\ \cancel{\text{kg}}}{6.62\cdot 10^6\ \cancel{\text{m}}}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 7.75\cdot 10^3\ m\cdot s^{-1}}}$$$



b) Como sabes la velocidad orbital, puedes calcular el periodo del satélite, que es el tiempo que tarda en completar una vuelta:

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{T = \dfrac{2\pi\cdot R}{v}}} = \dfrac{2\cdot \pi\cdot 6.62\cdot 10^6\ \cancel{\text{m}}}{7.75\cdot 10^3\ \cancel{\text{m}}\cdot \text{s}^{-1}} = \color{royalblue}{\bf 5.37\cdot 10^3\ s}$$$

El número de vueltas que dará en un día es:

$$$ \require{cancel} \text{N} = \dfrac{1\ \cancel{\text{día}}\cdot \dfrac{86\ 400\ \cancel{\text{s}}}{1\ \cancel{\text{día}}}}{5.37\cdot 10^3\ \cancel{\text{s}}\cdot \text{vuelta}^{-1}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 16.1\ vueltas}}$$$


El satélite da 16 vueltas completas en un día.

c) La velocidad de escape desde la órbita es la velocidad mínima que debe tener el satélite para que escape hacia el infinito con velocidad nula, es decir, para que su energía mecánica total sea cero. Basta con que impongas esa condición a la energía mecánica del satélite y despejes la velocidad:

$$$ \text{E}_\text{M}(\infty) = 0\ \to\ \dfrac{\text{m}}{2}\cdot \text{v}_\text{e}^2 - G\cdot \dfrac{\text{M}_\text{T}\cdot \text{m}}{\text{R}} = 0\ \to\ \color{forestgreen}{\bf v_e = \sqrt{\dfrac{2G\cdot M_T}{R}}}$$$

Observa que el radicando es el doble de la velocidad orbital, por lo que la velocidad de escape es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{v_e = \sqrt{2}\cdot v}} = \sqrt{2}\cdot 7.75\cdot 10^3\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 1.097\cdot 10^4\ m\cdot s^{-1}}}$$$

En la misma sección

Palabras clave