Fuerza resultante de dos masas puntuales sobre una tercera (8328)

, por F_y_Q

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En el punto A (2,0) se sitúa una masa de 2 kg y en el punto B (5,0) se coloca otra masa de 4 kg. Calcula la fuerza resultante que actúa sobre una tercera masa de 5 kg cuando se coloca en el origen de coordenadas y cuando se sitúa en el punto C (2,4).

P.-S.

Como las fuerzas son magnitudes vectoriales, la fuerza resultante sobre la tercera masa será la suma vectorial de la fuerzas que cada una de las dos masas ejerce sobre ella. El problema debe ser dividido en dos partes.

a) Situando la tercera masa en el origen de coordenadas.

Dado que las masas situadas en A y B están en la misma dirección que la masa situada en C, las fuerzas pueden ser representadas como se muestra en la figura. Si clicas en la imagen la puedes ver con más detalle:


Si aplicas el principio de superposición y la ley de gravitación universal, obtienes:

\left \vec{F}_T = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 \atop \vec{F}_G = \dfrac{m_1\cdot m_2}{d^2}\ \vec{u} \right \}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\vec{F}_T = G\cdot m_3\left(\frac{m_1}{r_1^2} + \frac{m_2}{r_2^2}\right)\ \vec{i}}}

Sustituyes por los valores del enunciado y calculas:

\vec{F}_T = 6.67\cdot 10^{-11}\ \frac{N\cdot \cancel{m^2}}{\cancel{kg^2}}\cdot 5\ \cancel{kg}\left(\frac{2\ \cancel{kg}}{2^2\ \cancel{m^2}} + \frac{4\ \cancel{kg}}{5^2\ \cancel{m^2}}\right)\ \vec{i} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{2.2\cdot 10^{-10}\ \vec{i}\ (N)}}}


Situando la tercera carga en el punto C (2,4).

El esquema del problema cambia y las fuerzas que debes calcular son las que puedes ver en esta imagen:


La fuerza vertical solo tiene una componente y la calculas de manera análoga a las que has hecho en el apartado anterior:

\vec{F}_1 = G\cdot m\left(\frac{m_1\cdot m_3}{r_1^2}\right) (-\vec{j}) = - 6.67\cdot 10^{-11}\ \frac{N\cdot \cancel{m^2}}{\cancel{kg^2}}\left(\frac{2\ \cancel{kg}\cdot 5\ \cancel{kg}}{4^2\ \cancel{m^2}}\right) \vec{j} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{-4.17\cdot 10^{-11}\ \vec{j}\ (N)}}

De la misma manera, también puedes calcular el módulo de la segunda fuerza:

F_2 = G\cdot m\left(\frac{m_2\cdot m_3}{r_2^2}\right) = 6.67\cdot 10^{-11}\ \frac{N\cdot \cancel{m^2}}{\cancel{kg^2}}\left(\frac{4\ \cancel{kg}\cdot 5\ \cancel{kg}}{(\sqrt{3^2 + 4^2})^2\ \cancel{m^2}}\right) = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{5.34\cdot 10^{-11}\ (N)}}

Necesitas las componentes «x» e «y» del vector y, para ello, tienes que conocer las relaciones trigonométricas del vector \vec{F}_2 para cada una de las direcciones del sistema de referencia. En el esquema está dibujado el ángulo con la dirección vertical, por lo que las relaciones trigonométricas son:

\left cos\ \alpha = \frac{F_y}{F_2} = \frac{4}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\ \to\ {\color[RGB]{0,112,192}{\bm{cos\ \alpha = \frac{4}{5}}}} \atop sen\ \alpha = \frac{F_x}{F_2} = \frac{3}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\ \to\ {\color[RGB]{0,112,192}{\bm{sin\ \alpha = \frac{3}{5}}}} \right \}

Las componentes del vector son:

\left \vec{F}_{2x} = 5.34\cdot 10^{-11}\cdot \dfrac{3}{5}\ \vec{i} = {\color[RGB]{0,112,192}{\bm{3.2\cdot 10^{-11}\ \vec{i}\ (N)}}} \atop \vec{F}_{2y} = 5.34\cdot 10^{-11}\cdot \dfrac{4}{5}\ \vec{(-j)} = {\color[RGB]{0,112,192}{\bm{-4.27\cdot 10^{-11}\ \vec{j}\ (N)}}} \right \}

La fuerza resultante la obtienes al hacer la suma de las fuerzas, componente a componente:

\left \vec{F}_{Tx} = \vec{F}_{2x} = {\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{3.2\cdot 10^{-11}\ \vec{i}}}}} \atop \vec{F}_{Ty} = \vec{F}_1 + \vec{F}_{2y} = {\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{-8.44\cdot 10^{-11}\ \vec{j}}}}} \right


El módulo de la fuerza resultante es:

F_T = \sqrt{(3.2\cdot 10^{-11})^2 + (8.44\cdot 10^{-11})^2} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{9.03\cdot 10^{-11}\ N}}}