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Errores cuando medimos

En ciencia experimental, medir es una necesidad

En la fase de «experimentación» es muy común tener que realizar mediciones de las magnitudes involucradas en el conocimiento del sistema que se estudia. Esas mediciones han de ser objetivas, por lo que no es buena idea que estén basadas en nuestra intuición o sensaciones, sino que lo indicado es usar apartados de medida que permitan hacer comparaciones con patrones que sean rigurosas y fiables.

Todo aparato de medida tiene unas características que debes conocer:

Precisión. Hace referencia a la menor medida que puede realizar el aparato usado. Dicho de otro modo, un instrumento es más preciso cuando su error absoluto es menor que el de otro instrumento, expresados ambos en la misma unidad.

Sensibilidad. Se refiere a la escala de la medida que utiliza. Un aparato es más sensible que otro cuando es más preciso.

Exactitud. Es la capacidad de un instrumento para proporcionar valores de medida que son cercanos al valor real. Para estimar la exactitud es necesario hacer una buena calibración y comparar los datos con los obtenidos con otros aparatos.

Fidelidad. Es la capacidad de un aparato de coincidir en los valores de las medidas, incluso en condiciones diferentes. Si casi siempre da el mismo resultado al medir, se dice que es fiel.

Rapidez. Hace referencia al tiempo necesario para realizar la medida. Suele ser un parámetro que incrementa el precio del aparato de manera apreciable.

¿Cómo hacemos una medida?

Los aparatos de medida que usamos son copias de los patrones con los que comparamos o están diseñados para reproducir las condiciones en las que están definidos los patrones.

Supón que quieres medir la velocidad con la que se desplaza un objeto. Puedes hacerlo de manera indirecta si, primero mides la longitud que va a recorrer y la tomas como un valor fiable y, segundo, si mides el tiempo que emplea en recorrer esa velocidad. La medida del tiempo tendrá que ser estimada porque puede haber factores que hagan que esa medida pueda no ser lo precisa que sería deseable.

Cronómetro de precisión
Pixabay - AbsolutVision. Cronómetro. (Licencia Pixabay)

¿Cómo nos aseguramos de que el tiempo medido es el tiempo correcto? La respuesta a esta pregunta es compleja. Lo que podemos hacer medir varias veces el tiempo en recorridos sucesivos y estimar un valor promedio. Esto lo haremos calculando la media aritmética de los valores de tiempo obtenidos. Ese valor central lo tomaremos como valor «real» para poder hacer los cálculos de errores en la determinación de la velocidad.

Existen otros métodos para medir la velocidad, como son los velocímetros de los vehículos, por ejemplo. Este tipo de dispositivos requieren de un control de calidad previo y de calibrados periódicos para asegurar que sus mediciones siguen siendo fiables.
Velocímetro
Pixabay - chuckgray. Velocímetro. (Licencia Pixabay)

Ejemplo de medida.

Supón que vamos a medir la capacidad de aceleración que tiene un coche de juguete. Para ello nos vamos al patio y marcamos una zona en la que vamos a llevar a cabo el experimento. Para fijar la distancia que tiene recorrer nuestro coche hacemos cinco medidas de la distancia entre dos puntos y obtenemos los siguientes valores:

Medida Valores (m) Valor promedio (m)
d1 100.2 \[\bar d = \frac{100.2\cdot 3 + 100.1\cdot 2}{5} = \color{green}{100.16}\]
d2 100.2
d3 100.1
d4 100.2
d5 100.1

Observa que el resultado promedio contiene más cifras significativas de las que tienen las medidas. Esto es algo que debes evitar que ocurra porque el dígito decimal de las medidas está indicando que el instrumento usado tiene una precisión de decímetros. El valor promedio correcto debería ser redondeado a 100.2 m.

En la cinta métrica usada se puede ver una leyenda que indica que el error que se comete al medir es:

\[\pm 0.2\ m\]

Esto es lo que llamamos el error de precisión del aparato, que en este caso es analógico, y debemos considerar la mitad de ese valor como el error cometido en la medida, por lo que el último dígito significativo es estimado y lo debemos «poner en duda». La forma correcta de expresar nuestra medida es:

\[\bar d = \color{darkred}{100.2\pm 0.1\ (m)}\]

Lo siguiente es medir el tiempo que tarda nuestro coche en recorrer el trayecto medido, partiendo desde el reposo. Vamos a considerar que es un cronómetro digital y que su precisión es ±0.1 s. Al ser digital, el error de precisión es el mismo que marca el aparato. Hacemos cinco medidas del tiempo y encontramos los siguientes valores:

Medida Valores (s) Valor promedio (s)
t1 14.6 \[\bar t = \frac{14.6 + 14.1 + 14.0 + 14.8 + 14.5}{5} = \color{green}{14.4}\]
t2 14.1
t3 14.0
t4 14.8
t5 14.5

Observa que los valores de tiempo que has medido son parecidos entre sí pero no hay valores que se repitan, como ocurría en el caso de la distancia. Este conjunto de valores te está indicando que necesitas más medidas de tiempo para conseguir un valor promedio más preciso. Vamos a suponer que realizas un total de quince medidas de tiempo y haces el promedio según la ecuación:

\[\bar t = \frac{14.0\cdot 3 + 14.1\cdot 4 + 14.2\cdot 3 + 14.3\cdot 2 + 14.5\cdot 1 + 14.6\cdot 1 + 14.8\cdot 1}{15} = \color{darkred}{14.2\pm 0.1\ (s)}\]

Para ampliar conocimiento

En realidad, el error que se comete en la medida se debe estimar de otro modo cuando son varias medidas de una misma magnitud. El valor promedio se obtiene tal y como has visto, pero el error de la medida se debe obtener usando la ecuación:

\[\color{green}{\sqrt{\frac{\sum^n_{i=1} (x_i - \bar x)^2}{n}}}\]

En el caso de la distancia que ha de recorrer el vehículo, el cálculo del error sería:

\[\sqrt{\frac{3\cdot(100.2 - 100.2)^2 + 2\cdot (100.1 - 100.2)^2}{5}} = \color{darkblue}{0.06\ m}\]

El resultado ha de tener sentido físico

Lo anterior es un cálculo matemático, pero no debes olvidar nunca que los resultados han de tener un sentido físico o químico. No tiene lógica expresar el resultado de la medida con un error menor que la precisión del aparato. Por eso, para expresar el resultado final, se debe usar el valor más alto entre el error de precisión y el error calculado. En nuestro caso, el valor más alto es ±0.1 m, por eso el resultado propuesto en el ejemplo es correcto.

¿Son buenas nuestras medidas?

Hasta ahora hemos calculado el error absoluto, es decir, cuánto se desvía cada medida de un valor central:

\[\color{green}{E_a = |(x_i - \bar x)|}\]

Este valor se toma en valor absoluto, por lo que siempre es una cantidad positiva. Sin embargo, ese error no nos dice si la medida es buena o no. ¿Sería igual de importante el error si consideramos una distancia de 2 m en lugar de los 100 m que hemos medido en nuestro ejemplo?

Para tener una idea de si nuestra medida es buena vamos a calcular el error relativo de la medida. La ecuación que vamos a usar para calcular este tipo de error, en forma de tanto por ciento, es:

\[\color{green}{\varepsilon_r = \frac{E_a}{\bar x}\cdot 100}\]

El error absoluto de las medidas de distancia y tiempo es el mismo. Vamos a calcular el error relativo en cada caso:

Distancia.

\[\varepsilon_r(d) = \frac{0.1\ \cancel{m}}{100.2\ \cancel{m}}\cdot 100 = \color{darkred}{0.1\ \%}\]

Tiempo.

\[\varepsilon_r(t) = \frac{0.1\ \cancel{s}}{14.2\ \cancel{s}}\cdot 100 = \color{darkred}{0.7\ \%}\]

Como puedes ver, aun siendo dos medidas muy buenas porque son errores relativos pequeños, la medida de la distancia es mejor que la medida del tiempo.

En este vídeo puedes ver un problema resuelto en el que se explica qué son el error absoluto y el error relativo, además de hacer algunas consideraciones sobre ello:

Acción-Educación - EjerciciosFyQ. Errores absoluto y relativo. (Licencia estándar de YouTube)

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