Cálculo del error en magnitudes derivadas
Ahora debes calcular el valor de la aceleración del vehículo y para ello usarás la ecuación:
\[d = \cancelto{0}{v_0}\cdot t + \frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2\ \to\ d = \frac{a}{2}\cdot t^2\ \to\ \color{green}{a = \frac{2d}{t^2}}\]
Si sustituyes los valores obtenidos anteriormente y calculas:
\[a = \frac{2\cdot 100.2\ m}{(14.2\ s)^2} = \color{darkblue}{0.994\ m\cdot s^{-2}}\]
El tiempo es la magnitud con menor número de cifras significativas, que son tres, y por eso el resultado debe tener solo tres cifras significativas.
¿Y qué pasa con el error?
Observa que tienes un cociente entre la distancia y el cuadrado del tiempo. En los cocientes y productos, la incertidumbre del cálculo es la suma de las incertidumbres de las magnitudes con las que operas. En este caso, al estar al cuadrado el tiempo, debes multiplicar por dos su incertidumbre.
\[\color{green}{\frac{E_a}{a} = \frac{E_d}{d} + 2\frac{E_t}{t}}\]
La incertidumbre en el cálculo de la aceleración es:
\[\frac{E_a}{a} = \frac{0.1\ \cancel{m}}{100.2\ \cancel{m}} + \frac{2\cdot 0.1\ \cancel{s}}{14.2\ \cancel{s}} = \color{darkblue}{1.51\cdot 10^{-2}}\]
¿Cómo expresamos el resultado de la aceleración?
El dato de la incertidumbre debe ser convertido en error absoluto para poder usarlo en el valor de la aceleración calculado. Lo puedes obtener despejando del resultado anterior:
\[\frac{E_a}{a} = 1.51\cdot 10^{-2}\ \to\ E_a = 0.99\ m\cdot s^{-2}\cdot 1.51\cdot 10^{-2} = \color{darkblue}{1.50\cdot 10^{-2}\ m\cdot s^{-2}}\]
El resultado de la aceleración tiene tres cifras significativas, por lo que el error absoluto calculado es ±0.015. El resultado de la aceleración es:
\[\color{darkred}{a = 0.994\pm 0.015\ (m\cdot s^{-2})}\]
Cálculo del error en sumas y restas
Cuando la medida indirecta que hacemos implica sumas o restas de otras medidas, el error absoluto de la medida indirecta es igual a la suma de los errores absolutos de las medidas.
\[x = m_1 + m_2\ \to\ \color{green}{E_x = E_{m_1} + E_{m_2}}\]
Ten cuenta las siguientes indicaciones:
- El error absoluto lo debes expresar con solo una cifra significativa, si se trata de un dígito distinto de uno, o con dos cifras significativas si la primera de ellas es un «uno».
- La medida no puede ser expresada con una precisión mayor que la del error, una vez redondeado.
Primer ejemplo
Queremos conocer el perímetro de un terreno y tenemos varias medidas de las longitudes de su linde:
\[l_1 = 1.2\pm 0.1\ km\ ;\ l_2 = 800\pm 10\ m\ ;\ l_3 = 2.3\pm 0.1\ km\ ;\ l_4 = 920\pm 10\ m\]
1. Expresas todas las medidas en la misma unidad. Vamos a escoger los metros para evitar trabajar con decimales:
\[l_1 = 1\ 200\pm 100\ m\ ;\ l_3 = 2\ 300\pm 100\ m\]
2. Realizas el cálculo del perímetro, que es la suma de todos los lados:
\[P = \sum l_i = (1\ 200 + 800 + 2\ 300 + 920)\ m = \color{darkblue}{5\ 220\ m}\]
3. Sumas los errores absolutos de cada medida para obtener el error absoluto del perímetro:
\[E_P = \sum E_i = \pm (100 + 10 + 100 + 10)\ m = \color{darkblue}{\pm 220\ m}\]
4. Redondeas el valor del error de manera que solo tenga un dígito significativo, que sea distinto de uno. En caso de ser uno, puedes usar dos dígitos significativos:
\[E_P = \pm 200\ m\]
5. Escribes la medida sin que la precisión de la medida sea mayor que la del error que has calculado y redondeado:
\[\color{darkred}{P = 5\ 200\pm 200\ (m)}\]
Segundo ejemplo
Usamos dos recipientes distintos para medir la masa de ingredientes de una receta de repostería. Con el primer recipiente, cuya masa es 320±10 (g), medimos una masa total de harina de 543±10 (g) y una masa total de azúcar de 471±10 (g). Con el segundo recipiente, cuya masa sin nada en su interior es 78±2 (g), mides una masa total de 123±2 (g) de yema de huevo y una masa total de 90±2 (g) de levadura química. ¿Cuál es la masa total de todos los ingredientes sólidos de la receta?
1. Calculas la masa de los ingredientes. Ten en cuenta que las masas totales incluyen la masa de los recipientes usados:
mh = (543 - 320) g = 223 g ; ma = (471 - 320) g = 151 g ; my = (123 - 78) g = 45 g ; ml = (90 - 78) g = 12 g
2. La masa total de los ingredientes sólidos es la suma de las masas anteriores:
\[M = \sum m_i = (223 + 151 + 45 + 12) g = \color{darkblue}{431\ g}\]
3. Calculas el error absoluto, que es la suma de los errores, y lo redondeas:
\[E_M = \sum E_i = (10 + 10 + 2 + 2) g = 24\ g\ \to\ \color{darkblue}{E_M = 20\ g}\]
4. Tienes que redondear la masa de los ingredientes para que la precisión sea igual que el error. La medida final queda como:
\[\color{darkred}{M = 430\pm 20\ (g)}\]
Cálculo del error en productos y cocientes
Cuando la medida indirecta que hacemos implica productos o cocientes de otras medidas, el error relativo o incertidumbre de la medida indirecta es igual a la suma de los errores relativos de las medidas.
\[x = m_1\cdot m_2\ \to\ \varepsilon_x = \varepsilon_{m_1} + \varepsilon_{m_2}\ \to\ \color{green}{\frac{E_x}{|x|} = \frac{E_{m_1}}{|m_1|} + \frac{E_{m_2}}{|m_2|}}\]
\[x = \frac{m_1}{m_2}\ \to\ \varepsilon_x = \varepsilon_{m_1} + \varepsilon_{m_2}\ \to\ \color{green}{\frac{E_x}{|x|} = \frac{E_{m_1}}{|m_1|} + \frac{E_{m_2}}{|m_2|}}\]
Ten cuenta las siguientes indicaciones:
- El error absoluto lo debes expresar con solo una cifra significativa, si se trata de un dígito distinto de uno, o con dos cifras significativas si la primera de ellas es un «uno».
- La medida no puede ser expresada con una precisión mayor que la del error, una vez redondeado.
Ejemplo resuelto
Queremos conocer la altura del pararrayos que está instalado en la iglesia del pueblo. Usamos para ello un objeto que tiene una longitud de 25±0.2 cm. Medimos las longitudes de las sombras que se proyectan a cierta hora para el pararrayos y el objeto y obtenemos los valores 10.2±0.1 m y 8±0.2 cm, respectivamente. ¿Cuál será la altura del pararrayos expresada en metros?
1. Podemos obtener la altura por semejanza de triángulos, usando la siguiente ecuación:
\[\color{green}{h = L_{s_p}\cdot \frac{L_{obj}}{L_{s_{obj}}}}\]
2. Ten cuidado con las unidades porque han de ser homogéneas. En este caso, al haber un cociente de longitudes, puedes dejar la longitud de la sombra del pararrayos en metros:
\[h = 10.2\ m\cdot \frac{25\ \cancel{cm}}{8\ \cancel{cm}} = \color{darkblue}{31.88\ m}\]
3. Calculas el error relativo de la medida:
\[\frac{E_p}{L_p} = \frac{E_{s_p}}{L_{s_p}} + \frac{E_{obj}}{L_{obj}} + \frac{E_{s_{obj}}}{L_{s_{obj}}}\ \to\ \frac{E_p}{L_p} = \frac{0.1\ \cancel{m}}{10.2\ \cancel{m}} + \frac{0.2\ \cancel{cm}}{25\ \cancel{cm}} + \frac{0.2\ \cancel{cm}}{8\ \cancel{cm}} = \color{darkblue}{4.28\cdot 10^{-2}}\]
4. El error absoluto de la medida lo obtienes si multiplicas el valor obtenido por la medida de la altura calculada. Si la expresas en metros, tienes el valor que te pide el problema:
\[E_p = 31.88\ m\cdot 4.28\cdot 10^{-2} = \color{darkblue}{1.36\ m}\]
5. Solo te queda expresar la medida en metros, con las cifras significativas correctas, y el error con dos dígitos significativos porque el primero de ellos es «uno»:
\[\color{darkred}{h = 31.9\pm 1.4\ (m)}\]
Ejemplo resuelto en vídeo
Se aplica una fuerza de F = 10±0.2 N a una masa de m = 2±0.1 kg, haciendo que se acelere. ¿Cuál es el porcentaje de incertidumbre de su aceleración?
En el vídeo puedes ver la resolución del ejercicio paso a paso:
Cálculo del error en potencias
Cuando la medida indirecta que hacemos implica una potencia de otra medida, el error relativo o incertidumbre de la medida indirecta es igual al producto del exponente por el error relativo de la medida.
\[x = (m_1)^a\ \to\ \varepsilon_x = a\cdot \varepsilon_1\ \to\ \color{green}{\frac{E_x}{|x|} = a\cdot \frac{E_{m_1}}{|m_1|}}\]
Ten cuenta las siguientes indicaciones:
- El error absoluto lo debes expresar con solo una cifra significativa, si se trata de un dígito distinto de uno, o con dos cifras significativas si la primera de ellas es un «uno».
- La medida no puede ser expresada con una precisión mayor que la del error, una vez redondeado.
Ejemplo resuelto
¿Cuál es el volumen de un dado cúbico cuya arista mide 18±0.5 mm?
1. La ecuación para calcular el volumen del dado contiene una potencia y es:
\[\color{green}{V = a^3}\]
2. El volumen del dado es:
\[V_d = 18^3\ mm^3 = \color{darkblue}{5\ 832\ mm^3}\]
3. El error relativo del volumen será:
\[\frac{E_d}{|V_d|} = 3\cdot \frac{E_a}{|a|}\ \to\ \frac{E_d}{|V_d|} = 3\cdot \frac{0.5\ \cancel{mm}}{18\ \cancel{mm}} = \color{darkblue}{8.33\cdot 10^{-2}}\]
4. El error absoluto cometido en el cálculo del volumen, redondeado a un dígito significativo, es:
\[E_d = 8.33\cdot 10^{-2}\cdot 5\ 832\ mm^3 = \color{darkblue}{5\cdot 10^2\ mm^3}\]
5. El volumen del dado puede expresarse como:
\[\color{darkred}{V_d = 5\ 800\pm 500\ (mm^3)}\]
Otros ejercicios resueltos
Aquí tienes otros dos problemas resueltos paso a paso. El primer problema es de un nivel adecuado para 4.º de ESO y el segundo problema es un problema de ampliación, con un nivel superior al esperado en este nivel. Si te atreves con él, mejor.
1. Al medir los lados de una caja con forma de paralelepípedo, obtenemos los siguientes valores: 0.5±0.1 m de largo, 1.25±0.03 m de ancho y 0.14±0.03 m de alto. Calcula el volumen de la caja y su error.
2. Determina la masa de agua, en gramos, con su % de error, que ocuparía una piscina en forma de paralelepípedo que tiene las siguientes dimensiones: 25±0.1 m de largo, 10± 0.1 m de ancho y 2±0.1 m de profundidad. La densidad del agua es 1.1 g·mL-1±5 %.