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Centro de masas de una distribución de masas en un cuadrado (7828)

Martes 10 de enero de 2023, por F_y_Q

En los vértices de un cuadrado de lado a se sitúan cuatro masas tal como indica la figura.

Si en medio de la recta que une las masas de 1 kg se sitúa una masa de M kilogramos resulta que el centro de masas del sistema formado está en el centro de dicho cuadrado. ¿Cuál debe ser el valor de la masa M?

Si colocas la masa M en el sistema del enunciado resulta:

El centro de masas (CM) se sitúa en las coordenadas $\left(\frac{a}{2} , \frac{a}{2}\right)$ . A partir de la ecuación de la posición del centro de masas:

$\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\vec{r}_{CM} = \frac{\sum m_i\cdot r_i}{\sum m_i}}}$

Si la expresas en función de las coordenadas:

$\frac{a}{2}\ \vec{i} + \frac{a}{2}\ \vec{j} = \frac{1\cdot a\ \vec {i} + 1\cdot (a\ \vec{i} + a\ \vec{j}) + 2\cdot a\ \vec{j} + M(a\ \vec{i} + \frac{a}{2}\ \vec{j})}{M + 6} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{\frac{(2a + Ma)\ \vec{i} + (3a + \frac{Ma}{2})\ \vec{j}}{M + 6}}}$

Si tomas la dirección horizontal, por ejemplo, e igualas obtienes:

$\frac{a}{2} = \frac{a + Ma}{M + 6} = \frac{a(2 + M)}{M + 6}\ \to\ M + 6 = 4 + 2M\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf M = 2\ kg}}$

Centro de masas de una distribución de masas en un cuadrado (7828)

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