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Dinámica de traslación y rotación en un sistema de cuerpos enlazados (7724)

Viernes 28 de octubre de 2022, por F_y_Q

En la figura se muestra un sistema conformado por dos masas colgantes $m_1 = 4.00\ kg$ , $m_2 = 2.00\ kg$ , dos poleas de radio $r_p = 0.05\ m$ y masa $m_p = 0.250\ kg$ fijadas en los extremos de la mesa y un disco de radio $R = 0.15\ m$ y masa $m_3 = 1.00\ kg$ . Los tres objetos se unen mediante una cuerda que pasa sin deslizarse por las poleas, cuyos ejes carecen de fricción, y se unen al disco por medio de un eje central que le permite rodar libremente sobre una mesa con superficie rugosa. Si el sistema se libera a partir del reposo, halla lo siguiente:

a) El valor de la aceleración del centro de masa del disco.

b) El valor de la rapidez final que alcanza la si recorre 1 m sobre la mesa.

c) El valor de todas las tensiones del sistema.

El diagrama de fuerzas puede ser:

a) Esta aceleración será la aceleración del sistema. Para obtenerla debes aplicar la segunda ley de la dinámica, para la traslación y la rotación, al sistema:

$p_1 + \cancel{T_1^{\prime}} + \cancel{T_2} - \cancel{T_1} - \cancel{T_2^{\prime}} - p_2 = (m_1 + m_2 + m_3)\cdot a + \cancel{2}\cdot \frac{m_p}{\cancel{2}}\cdot r_p^\cancel{2}}\cdot \frac{a}{\cancel{r_p}} + \frac{m_3}{2}\cdot R^\cancel{2}}\cdot \frac{a}{\cancel{R}}$

$\color[RGB]{2,112,20}{\bm{p_1 - p_2 = a\left[(m_1 + m_2 + m_3) + m_p\cdot r_p + \frac{m_3}{2}\cdot R\right]}}$

Despejas el valor de la aceleración y sustituyes los datos para calcularla:

$a = \frac{9.8\ \frac{m}{s^2}\cdot 2\ kg}{7.5\ kg + 0.25\ kg\cdot 0.05\ m + 0.5\ kg\cdot 0.15\ m} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{2.58\ \frac{m}{s^2}}}}$

b) Una vez que conoces la aceleración, la velocidad final la calculas aplicando la ecuación del MRUA:

$v^2 = \cancelto{0}{v_0^2} + 2ad\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{v = \sqrt{2ad}}}$

Sustituyes y calculas:

$v = \sqrt{2\cdot 2.58\ \frac{m}{s^2}\cdot 1\ m} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{2.27\ \frac{m}{s}}}}$

c) Aislando los cuerpos uno a uno:

$p_1 - T_1 = m_1\cdot a\ \to\ {\color[RGB]{2,112,20}{\bm{T_1 = m_1(g - a)}}} = 4\ kg\cdot (9.8 - 2.58)\ \frac{m}{s^2} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 28.9\ N}}$

$T_2 - p_2 = m_2\cdot a\ \to\ {\color[RGB]{2,112,20}{\bm{T_2 = m_2(g + a)}}} = 2\ kg\cdot (9.8 + 2.58)\ \frac{m}{s^2} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 24.8\ N}}$

Dinámica de traslación y rotación en un sistema de cuerpos enlazados (7724)

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