Análisis dimensional para averiguar las dimensiones de dos magnitudes

, por F_y_Q

Calcula las dimensiones de A y B, sabiendo que la siguiente ecuación es dimensionalnente correcta:

A = \frac{W\cdot sen\ \theta}{m\cdot (B^2 + S)}

W = trabajo ; m = Masa ; S = Área


SOLUCIÓN:

En el propio enunciado nos indican qué es cada una de las magnitudes que aparecen en la ecuación. Para deducir las dimensiones de cada una vamos a hacer una serie de observaciones.
Primera observación.
Dado que las dimensiones de S son de superficie, es decir, [L]^2, B, debe tener dimensión [L] porque, al estar en el paréntesis, B^2 ha de tener la misma dimensión que S. La dimensión de B es: \bf B = [L].
Segunda observación.
La dimesión de m es [M], pero necesitamos expresar la magnitud W como combinación de magnitudes fundamentales para poder hacer la deducción. El trabajo es el producto de la fuerza por el desplazamiento y la fuerza es masa por aceleración. Las dimensiones del trabajo son:
W = [M]\cdot [L]^2\cdot [T]^{-2}
Ahora reescribimos la ecuación del enunciado en función de las dimensiones de cada magnitud y cancelamos aquellas dimensiones que se repitan en el numerador y el denominador:

A = \frac{\cancel{[M]}\cdot \cancel{[L]^2}\cdot [T]^{-2}}{\cancel{[M]}\cdot (\cancel{[L]^2} + \cancel{[L]^2})}\ \to\ \bf A = [T]^{-2}