Valor del oro que recubre una moneda

, por F_y_Q

La monedas de colección a veces se recubren de oro para mejorar su belleza y valor. Considere un cuarto de dólar conmemorativo que se anuncia a la venta en 4,98 dólares. Tiene un diámetro de 24,1 mm y un grosor de 1,78 mm, y está cubierto por completo con una capa de oro puro de 0,18\ \mu m de espesor. El volumen del recubrimiento es igual al grosor de la capa por el área a la cual se aplica. Los patrones en las caras de la moneda y los surcos en los bordes tienen efectos despreciables sobre su área. Supón que el costo del oro es de 10 dólares por gramo. Encuentra el costo del oro agregado a la moneda.
Densidad del oro = 19,3\ g/cm^3


SOLUCIÓN:

En primer lugar calculamos la superficie que tiene una cara de la moneda:
S_{cara} = \pi R^2 = \pi \cdot \left(\frac{\emptyset}{2}\right)^2 = 3,14\cdot 12,05^2\ mm^2 = 456\ mm^2
Como tiene dos caras, la superficie debida a las caras de la moneda será el doble: 912\ mm^2.
La superficie del borde de la moneda será el producto de la longitud de la circunferencia por el grosor de ella:
S_{borde} = 2\pi \cdot R\cdot d = 6,28\cdot 12,05\ mm\cdot 1,78\ mm = 134,7\ mm^2
Si sumamos las áreas obtenemos un valor total de S_T = 1\ 046,7\ mm^2.
Para poder calcular el volumen de oro debemos expresar el grosor en mm, por lo que el valor a considerar será 1,8\cdot 10^{-4}\ mm. El volumen de oro que recubre la moneda será:
V = 1\ 046,7\cdot mm^2\cdot 1,8\cdot 10^{-4}\ mm = 0,188\ mm^3
Convertimos el volumen a cm^3 para poder calcular la masa de oro que la recubre, siendo el volumen: V = 1,88\cdot 10^{-4}\ cm^3. La masa de oro es:
m_{Au} = 1,88\cdot 10^{-4}\ cm^3\cdot 19,3\frac{g}{cm^3} = 3,63\cdot 10^{-3}\ g
Como cada gramo de oro cuesta 10 dólares, serán:

3,63\cdot 10^{-3}\ g\cdot \frac{10\ d\acute{o}lar}{g} = 3,63\cdot 10^{-2}\ d\acute{o}lar

El costo añadido será de 3,63 centavos de dólar.