Altura y velocidad de un objeto lanzado hacia arriba en distintos instantes (5183)

, por F_y_Q

|

Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad de $$$ 700\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1}$$$, calcula:

a) El tiempo que tarda en regresar al suelo.

b) La altura máxima alcanzada.

c) La rapidez a los 100 s de ser lanzada.

d) La altura con respecto al suelo a los 20 s.

e) La velocidad con la que toca el suelo.

P.-S.

En un movimiento vertical hacia arriba, si consideras positiva la velocidad de lanzamiento, tienes que considerar que la aceleración de la gravedad es negativa por tener sentido contrario. En ausencia de rozamiento, el movimiento que hará el cuerpo es simétrico, es decir, el mismo tiempo que tarda en ascender será el que tarde en volver al punto de partida. Del mismo modo, la velocidad al final del movimiento será la misma que la velocidad inicial.

a) Si consideras que «y = 0» en la ecuación de la posición del objeto, puedes obtener el valor del tiempo de vuelo:

$$$ \require{cancel} \cancelto{0}{\text{y}} = \cancelto{0}{\text{y}_0} + \text{v}_0\cdot \text{t} - \dfrac{\text{g}}{2}\cdot \text{t}^2\ \to\ \color{forestgreen}{\bf 0 = 700t - 4.9t^2}$$$

Esta ecuación tiene dos soluciones. La primera es «t = 0», que llamamos solución trivial porque se corresponde con el momento inicial del lanzamiento. La segunda solución que se obtiene es:

$$$ \require{cancel} \text{t}_\text{v} = \dfrac{700\ \cancel{\text{m}}\cdot \cancel{\text{s}^{-1}}}{4.9\ \cancel{\text{m}}\cdot \text{s}^\cancel{{-2}}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 142.86\ s}}$$$


b) La altura máxima se alcanza cuando la velocidad del cuerpo se hace nula, es decir, cuando deja de ascender para comenzar a descender. El tiempo de subida es:

$$$ \require{cancel} \cancelto{0}{\text{v}} = \text{v}_0 - \text{gt}\ \to\ \text{t}_\text{s} = \dfrac{700\ \cancel{\text{m}}\cdot \cancel{\text{s}}}{9.8\ \cancel{\text{m}}\cdot \text{s}^\cancel{{-2}}} = \color{royalblue}{\bf 71.43\ s}$$$

Como puedes comprobar, el tiempo de subida es la mitad del tiempo de vuelo, como se aclaró al inicio de la resolución. La altura máxima es:

$$$ \require{cancel} \text{h}_{\text{máx}} = 700\ \dfrac{\text{m}}{\cancel{\text{s}}}\cdot 71.43\ \cancel{\text{s}} - 4.9\ \dfrac{\text{m}}{\cancel{\text{s}^2}}\cdot 71.43^2\ \cancel{\text{s}^2} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 2.5\cdot 10^3\ m}}$$$


c) Ahora impones la condición de «t = 100 s» en la ecuación de la velocidad:

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{v = v_0 - gt}}\ \to\ \text{v} = 700\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}} - 9.8\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}^\cancel{2}}\cdot 100\ \cancel{\text{s}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf -280\ m\cdot s^{-1}}}$$$


El signo negativo indica que está descendiendo.

d) Ahora impones el valor del tiempo en la ecuación de la posición:

$$$ \require{cancel} \text{y} = 700\ \dfrac{\text{m}}{\cancel{\text{s}}}\cdot 20\ \cancel{\text{s}} - 4.9\ \dfrac{\text{m}}{\cancel{\text{s}^2}}\cdot 20^2\ \cancel{\text{s}^2} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 12\ 040\ m}}$$$


e) La velocidad con la que llega al suelo es la misma que la velocidad con la que fue lanzado:

$$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf v_f = 700\ m\cdot s^{-1}}}$$$