Análisis dimensional de una ecuación con dos incógnitas (5047)

, por F_y_Q

Si la siguiente ecuación es homogénea, halla x + y:

p = \frac{1}{2}\rho\cdot v^x  + \gamma\cdot h^y

siendo p (presión), \rho (densidad), v (velocidad), \gamma (peso específico) y h (altura).


SOLUCIÓN:

Vamos a expresar cada una de las magnitudes de la ecuación en función de las magnitudes fundamentales y luego analizamos los términos:

\frac{[M][L]}{[L^2][t]^2}  = \frac{[M]}{[L]^3}\cdot \frac{[L]^x}{[t]^x} + \frac{[M][L]}{[L]^3[t]^2}\cdot [L]^y

Podemos simplificar la magnitud masa ([M]) que está en todos los términos y reescribimos la ecuación con exponentes negativos:

[L]^{-1}[t]^{-2} =  [L]^{x-3}[t]^{-x} + [L]^{-2+y}[t]^{-2}

Como es una ecuación homogénea, el valor de x ha de ser 2 para que el término [t] ^{-2} esté presente en todos los términos de la ecuación.
Además se debe cumplir la ecuación -2 + y = -1, de donde y = 1.
Por lo tanto, \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf x + y = 3}}.