Bobina que se conecta a un generador alterno sinusoidal (7759)

, por F_y_Q

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Una bobina con L = 5 mH se conecta a un generador de tensión alterna sinusoidal de V_{\text{ef}} = 80\ V.

a) Calcula la reactancia inductiva y la corriente eficaz del circuito cuando la frecuencia es de 15 Hz, 200 Hz y 3 500 Hz.

b) Teniendo en cuenta la corriente eficaz obtenida para 15 Hz, ¿cuánto debería valer L para conseguir la misma corriente eficaz a 3 500 Hz?

P.-S.

a) La reactancia inductiva depende de \omega y de L. Puedes obtenerla a partir de la frecuencia para cada caso. La intensidad eficaz es el cociente entre la tensión eficaz y la reactancia inductiva. Lo haces caso a caso:

Para f = 15 Hz:

\omega = 2\pi\cdot f = 2\pi\cdot 15\ \frac{rad}{s} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{30\pi\ \frac{rad}{s}}}

La reactancia inductiva es:

X_L = \omega\cdot L = 30\pi\ \frac{rad}{s}\cdot 5\cdot 10^{-3}\ H = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{0.471\ \Omega}}}


La intensidad eficaz es:

I_{\text{ef}} = \frac{\varepsilon_{\text{ef}}}{X_L} = \frac{80\ V}{0.471\ \Omega} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 170\ A}}


Para f = 200 Hz:

\omega = 2\pi\cdot f = 2\pi\cdot 200\ \frac{rad}{s} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{400\pi\ \frac{rad}{s}}}

La reactancia inductiva es:

X_L = \omega\cdot L = 400\pi\ \frac{rad}{s}\cdot 5\cdot 10^{-3}\ H = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{6.28\ \Omega}}}


La intensidad eficaz es:

I_{\text{ef}} = \frac{\varepsilon_{\text{ef}}}{X_L} = \frac{80\ V}{6.28\ \Omega} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 12.7\ A}}


Para f = 3 500 Hz:

\omega = 2\pi\cdot f = 2\pi\cdot 3\ 500\ \frac{rad}{s} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{7\ 000\pi\ \frac{rad}{s}}}

La reactancia inductiva es:

X_L = \omega\cdot L = 7\ 000\pi\ \frac{rad}{s}\cdot 5\cdot 10^{-3}\ H = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{110\ \Omega}}}


La intensidad eficaz es:

I_{\text{ef}} = \frac{\varepsilon_{\text{ef}}}{X_L} = \frac{80\ V}{110\ \Omega} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 0.727\ A}}


b) Si escribes la intensidad eficaz en función de la autoinducción y despejas:

I_{\text{ef}} = \frac{\varepsilon_{\text{ef}}}{\omega\cdot L}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{L = \frac{\varepsilon_{\text{ef}}}{I_{\text{ef}}\cdot \omega}}}

Solo tienes que considerar la intensidad eficaz calculada para los 15 Hz y la velocidad angular referida a la frecuencia de los 3 500 Hz, teniendo en cuenta que la tensión no varía:

L = \frac{80\ V}{170\ A\cdot 7000\pi\ \frac{rad}{s}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{2.14\cdot 10^{-5}\ H}}}