Deducción de la ecuación de la velocidad angular en un péndulo cónico (1789)

, por F_y_Q

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Una partícula de masa m (kg) que pende de un hilo inextensible, de longitud L (m), se mueve en un círculo horizontal con rapidez constante, v (\textstyle{m\over s}) , constituyendo un péndulo cónico. Suponiendo que se conoce el ángulo \beta , que forma el hilo con la vertical, demuestra que la velocidad angular, \omega\ (\textstyle{rad\over s}) , puede ser calculada mediante la ecuación:

\omega = \sqrt{\frac{g}{L\cdot cos\ \beta}}

donde g es la magnitud de la aceleración de la gravedad (\textstyle{m\over s^2}) .

P.-S.

Si dibujas todas las fuerzas presentes en el sistema obtienes el siguiente esquema:


La fuerza centrípeta puede ser escrita en función de la velocidad angular si tienes en cuenta que la rapidez es igual al producto de la velocidad angular y el radio:

F_{ct} = m\cdot a_{ct} = m\cdot \frac{v^2}{R} = \frac{m\cdot \omega^2\cdot R\cancel{^2}}{\cancel{R}} = \color[RGB]{2,112,20}{\bm{m\cdot \omega^2\cdot R}}

La tangente del ángulo que forma el péndulo con la vertical es el cociente:

tg\ \beta = \frac{F_{ct}}{p} = \frac{\cancel{m}\cdot \omega^2\cdot R}{\cancel{m}\cdot g} = \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\frac{\omega^2\cdot R}{g}}}

El radio puedes escribirlo en función de la longitud del péndulo y el ángulo:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{R = L\cdot sen\ \beta}}

Sustituyendo el radio en la ecuación anterior puedes obtener la ecuación que propone el enunciado:

\frac{\cancel{sen\ \beta}}{cos\ \beta} = \frac{\omega^2\cdot L\cdot \cancel{sen\ \beta}}{g}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\omega = \sqrt{\dfrac{g}{L\cdot cos\ \beta}}}}}