Función de onda de una partícula cuántica como combinación lineal de los estados estacionarios (8466)

, por F_y_Q

Considera una partícula cuántica de masa «m» confinada en un pozo de potencial unidimensional infinito en el intervalo 0 \leq x \leq L. En el instante t = 0, la función de onda de la partícula viene dada por:

\Psi(x, 0) = \sqrt{\frac{30}{L^5}} \, x (L - x)

a) Normaliza la función de onda inicial y verifica que ya está normalizada.

b) Expresa \Psi(x, 0) como una combinación lineal de los estados estacionarios \psi_n(x) del pozo infinito.

c) Determina la función de onda \Psi(x, t) en un tiempo t > 0.

d) Calcula la probabilidad de que, al medir la energía, se obtenga el valor correspondiente al primer estado excitado (n = 2).

P.-S.

a) La función de onda inicial estará normalizada cuando cumpla la condición:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\int_{0}^{L} |\Psi(x, 0)|^2\ dx = 1}}

Escribes la ecuación sustiyendo la función de onda:

\int_{0}^{L} \left( \sqrt{\frac{30}{L^5}} \, x (L - x) \right)^2 dx = \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\frac{30}{L^5} \int_{0}^{L} x^2 (L - x)^2\ dx}}

Si desarrollas el cuadrado y divides en tres integrales:

\frac{30}{L^5} \left[ L^2 \int_{0}^{L} x^2 \, dx - 2L \int_{0}^{L} x^3 \, dx + \int_{0}^{L} x^4 \, dx \right] = 1

Las integrales son inmediatas y las calculas entre los límites de integración:

\frac{30}{L^5} \left( L^2\cdot \frac{L^3}{3} - 2L\cdot \frac{L^4}{4} + \frac{L^5}{5} \right) = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{\frac{30}{L^5} \left( \frac{L^5}{3} - \frac{L^5}{2} + \frac{L^5}{5} \right)}}

Si sacas factor común L^5 y simplificas:

\frac{30\cdot \cancel{L^5}}{\cancel{L^5}} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} \right) = 30 \left( \frac{10}{30} - \frac{15}{30} + \frac{6}{30} \right) = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{30 \left( \frac{1}{30} \right) = 1}}}


Como puedes ver, la función de onda está normalizada.

b) La ecuación de los estados estacionarios de un pozo infinito es:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\cdot sen \left( \frac{n \pi x}{L} \right) }}

Tienes que expresar la función de onda como combinación lineal de los estados estacionarios:

\color[RGB]{0,112,192}{\bm{\Psi(x, 0) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n\cdot \psi_n(x)}}

Los coeficientes c_n los calculas de esta manera:

c_n = \int_{0}^{L} \psi_n^*(x)\cdot \Psi(x, 0)\ dx = \sqrt{\frac{2}{L}}\cdot \sqrt{\frac{30}{L^5}} \int_{0}^{L} x\cdot (L - x)\cdot sen\ \left( \frac{n \pi x}{L} \right)\ dx

Si operas con las constantes que está fuera del integrando tienes:

c_n = \frac{2 \sqrt{15}}{L^3} \int_{0}^{L} (Lx - x^2)\cdot sen\ \left( \frac{n \pi x}{L} \right)\ dx

La resolución de la integral la haces en dos partes:

\left L\ \int_{0}^{L} x\cdot sen\ \left( \frac{n \pi x}{L} \right)\ dx = \dfrac{L^2 (-1)^{n+1}}{n \pi} \atop \int_{0}^{L} x^2\cdot sen\ \left( \frac{n \pi x}{L} \right)\ dx = \dfrac{2L^3 (-1)^{n+1}}{n \pi} - \dfrac{L^3 (2 - n^2 \pi^2 (-1)^n)}{n^3 \pi^3} \right \}

Combinas los términos anteriores y tienes:

c_n = \frac{2 \sqrt{15}}{\cancel{L^3}}\cdot \cancel{L^3} \left( \frac{(-1)^{n+1}}{n \pi} - \frac{2\cdot (-1)^{n+1}}{n \pi} + \frac{(2 - n^2 \pi^2 (-1)^n)}{n^3 \pi^3} \right)

Si tienes en cuenta que para valores pares de «n» los términos se cancelan y simplificas, obtienes:

\color[RGB]{0,112,192}{\bm{c_n = \frac{4 \sqrt{15}}{n^3 \pi^3} \left( 1 - (-1)^n \right)}}

Por lo tanto, para valores pares de «n» los coeficientes son nulos y para valores impares de «n» obtienes:

\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{c_n = \frac{8 \sqrt{15}}{n^3 \pi^3}}}}


c) La función de onda en función del tiempo, escrita como combinación lineal de los estados estacionarios, es:

\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\Psi(x, t) = \sum_{n=1, 3, 5, \dots} \frac{8\sqrt{15}}{n^3\pi^3} \sqrt{\frac{2}{L}}\cdot sen \left( \frac{n \pi x}{L} \right) e^{\frac{-i E_n t}{\hbar}}}}


donde el término E_n es:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2}}}

d) Como c_n = 0 para cualquier valor par de «n», la probabilidad de encontrar E_2 es nula, es decir:

\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{P(E_2) = |c_2|^2 = 0}}}


Esto ocurre porque la función de onda es una combinación de estados estacionarios impares, como has calculado en el segundo apartado del problema.