Frecuencia umbral y potencial de extracción de un metal con los datos de un experimento (8211)

, por F_y_Q

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Cuando se ilumina una cierta superficie metálica con luz de diferentes longitudes de onda y se miden los potenciales que detienen los fotoelectrones, se obtienen los valores que se muestran en la siguiente tabla:

\begin{tabular}{| c | c | c | c | c | c | c |} \hline \lambda\ (10^{-7}\ m)&3.66&4.05&4.36&4.92&5.46&5.79 \\\hline \Delta V\ (V)&1.48&1.15&0.93&0.62&0.36&0.24 \\\hline \end{tabular}

Representando el potencial en función de la frecuencia, determina:

a) La frecuencia umbral.

b) El trabajo de extracción del metal.

c) La constante de Planck y el error relativo cometido.

P.-S.

Lo primero que debes hacer, dado que te indica el problema que tienes que representar el potencial en función de la frecuencia, es convertir los datos de longitud de onda a frecuencia. Si tienes en cuenta la relación entre ambas magnitudes y la velocidad de propagación, puedes despejar el valor de la frecuencia:

c = \lambda\cdot \nu\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\nu = \frac{c}{\lambda}}}

Si divides el valor de la velocidad de propagación de luz en el vacío entre cada valor de longitud de onda, obtienes una tabla como la que sigue, que será la que representes:

\begin{tabular}{| c | c | c | c | c | c | c |} \hline \nu\ (10^{14}\ Hz)&8.19&7.41&6.88&6.10&5.49&5.18 \\\hline \Delta V\ (V)&1.48&1.15&0.93&0.62&0.36&0.24 \\\hline \end{tabular}


La representación gráfica y el ajuste lineal de la misma da lugar a:


Si clicas en la imagen podrás ver el gráfico con más detalle.

La energía de los fotoelectrones es la diferencia entre la energía de la radiación y la energía umbral, pero esta energía es la misma que la energía eléctrica que se usa para detenerlos. Puedes igualar ambas expresiones y obtener:

\left E = h\cdot \nu - h\cdot \nu_0 \atop E = \Delta\cdot e \right \}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\Delta V = \frac{h}{e}\cdot \nu - \frac{E_0}{e}}}

Por semejanza entre la ecuación de la recta de la gráfica y la ecuación anterior, puedes deducir que:

\left \dfrac{h}{e} = 4.1\cdot 10^{-15}\ \dfrac{V}{Hz} \atop \dfrac{E_0}{e} = 1.89\ V\right \}

a) La frecuencia umbral la obtienes de la ordenada en el origen, teniendo en cuenta que la energía umbral la puedes escribir en función de la frencuencia umbral:

\frac{E_0}{e} = \frac{h\cdot \nu_0}{e} = 1.89\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\nu_0 = \frac{1.89}{\frac{h}{e}}}}

Sustituyes los valores conocidos y obtienes la frecuencia umbral:

\nu_0 = \frac{1.89\ \cancel{V}}{4.1\cdot 10^{-15}\ \frac{\cancel{V}}{Hz}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{4.61\cdot 10^{14}\ Hz}}}


b) El trabajo de extracción es:

V_0 = \frac{E_0}{e}\ \to\ E_0 = V_0\cdot e = 1.89\ V\cdot 1.6\cdot 10^{-19}\ C = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{3.02\cdot 10^{-19}\ J}}}


c) La constante de Planck la obtienes de la pendiente de la recta representada:

\frac{h}{e} = 4.1\cdot 10^{-15}\ \frac{V}{Hz}\ \to\ h = 4.1\cdot 10^{-15}\ \frac{V}{Hz}\cdot 1.6\cdot 10^{-19}\ C = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{6.56\cdot 10^{-34}\ J\cdot s}}}


El error de este valor experimental es:

\varepsilon_r = \frac{\bar h - h}{\bar h}\cdot 100 = \frac{6.63 - 6.56}{6.63}\cdot 100 = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 1\ \%}}