Probabilidad de encontrar una partícula en una zona de una caja unidimensional (8103)

, por F_y_Q

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Una partícula se mueve en el interior de una caja unidimensional de longitud a y potencial infinito en sus extremos calcular la probabilidad de encontrar la partícula a \textstyle{1\over 8} del lado izquierdo de la caja y para que valor del estado cuántico n es máxima esta probabilidad.

P.-S.

Como nuestro problema es unidimensional, vamos a considerar solo la componente «x» del sistema y la posición de la partícula tendrá que variar entre los puntos 0 y \textstyle{a\over 8}. La función de onda que vamos a considerar, por lo tanto, será:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\sqrt{\frac{2}{a}}sen\left(\frac{n\pi x}{a}\right)}}

La probabilidad que debes calcular la integral del producto de la conjugada de la función de onda por la propia función de onda. En este caso, al ser unidireccional, coinciden ambas ecuaciones:

P(0, \frac{a}{8}) = \int_0^{\frac{a}{8}}\psi^*\cdot \psi\cdot dx = \int_0^{\frac{a}{8}} \frac{2}{a}}sen\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\cdot \frac{2}{a}}sen\left(\frac{n\pi x}{a}\right)

Si multiplicas ambas funciones y sacas del integrando las constante, tienes:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{P(0, \frac{a}{8}) = \frac{2}{a}\int_0^{\frac{a}{8}} sen^2\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\cdot dx}}

Si aplicas la siguiente igualdad trigonométrica puedes hacer la integral más fácil:

sen^2 \alpha = \frac{1-cos\ 2\alpha}{2}

La integral anterior, al sacar la constante \textstyle{1\over 2} y operar con la otra que estaba fuera del integrando, queda como:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{P(0, \frac{a}{8}) = \frac{1}{a} \int_0^{\frac{a}{8}} \left[1 - cos\ \left(\frac{2n\pi x}{a}\right) \right]\cdot dx}}

Puedes dividir la integral en dos integrales; una de ellas es inmediata y la otra debe ser resuelta por sustitución:

P\left(0, \frac{a}{8}\right) = \frac{1}{a}\left[ \int_0^{\frac{a}{8}} dx - \int_0^{\frac{a}{8}} cos\ \left(\dfrac{2n\pi x}{a}\right)\cdot dx\right]

El resultado de las integrales que obtienes es:

P\left(0, \frac{a}{8}\right) = \frac{1}{a} \left[x |_0^{\frac{a}{8}} - \frac{a}{2n\pi}\cdot sen\ \left(\frac{2n\pi x}{a}\right) |_0^{\frac{a}{8}\right]

Aplicas los límites superior e inferior en cada caso y obtienes:

P\left(0, \frac{a}{8}\right) = \frac{1}{\cancel{a}}\cdot \frac{\cancel{a}}{8} - \frac{1}{\cancel{a}}\cdot \frac{\cancel{a}}{2n\pi}\cdot sen\ \frac{2n\pi \cancel{a}}{8 \cancel{a}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{\frac{1}{8} - \frac{1}{2n\pi}\cdot sen\ \frac{n\pi}{4}}}

La solución depende de la función seno, con lo que el resultado no es único y es necesario hacer el análisis de los posibles valores de «n» para obtener las probabilidades.

Para valores impares de «n».

Haces dos divisiones de valores impares de «n»:

n = 1, 3, 9, 11, 17, 19... \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{P\left(0, \frac{a}{8}\right) = \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{2}}{4n\pi}}}}

n = 5, 7, 13, 15, 21, 23... \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{P\left(0, \frac{a}{8}\right) = \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{2}}{4n\pi}}}}

Para valores pares de «n».

En este caso la división la haces en tres grupos de valores:

n = 2, 10, 18, 26... \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{P\left(0, \frac{a}{8}\right) = \frac{1}{8} - \frac{1}{2n\pi}}}}

n = 4, 8, 12, 16, 20, 22... \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{P\left(0, \frac{a}{8}\right) = \frac{1}{8}}}}

n = 6, 14, 22, 30... \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{P\left(0, \frac{a}{8}\right) = \frac{1}{8} + \frac{1}{2n\pi}}}}