Niveles del oscilador armónico cuántico y diferencia de energía entre dos estados (8397)

, por F_y_Q

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Un oscilador armónico cuántico tiene un hamiltoniano dado por:

H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2

donde «p» es el operador momento, «m» es la masa de la partícula, \omega es la frecuencia angular del oscilador, y «x» es el operador posición.

a) Demuestra que los niveles de energía del oscilador armónico cuántico son:

E_n = \hbar \omega \left(n + \frac{1}{2}\right), \quad n = 0, 1, 2, \dots

b) Calcula la diferencia de energía entre el primer estado excitado (n = 1) y el estado fundamental (n = 0).

P.-S.

a) Puedes escribir el hamiltoniano del oscilador armónico en función de los operadores de creación (a^\dagger) y aniquilación (a), cuyas fórmulas son:

a = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} \left(x + \frac{i}{m\omega} p\right) y \quad a^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} \left(x - \frac{i}{m\omega} p\right)

La fórmula del hamiltoniano es:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{H = \hbar \omega \left(a^\dagger a + \frac{1}{2}\right)}}

El operador número (N = a^\dagger a) cumple con la condición (N |n\rangle = n |n\rangle), donde |n\rangle son los estados propios del oscilador armónico. Puedes reescribir la ecuación anterior como:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{H = \hbar \omega \left(N + \frac{1}{2}\right)}}

Si das los distintos valores al operador número tienes la ecuación:

\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{E_n = \hbar \omega \left(n + \frac{1}{2}\right), \quad n = 0, 1, 2, {...}}}}


b) Lo primero que debes hacer es escribir las ecuaciones para las energías del estado fundamental y el primer estado excitado:

\left E_0 = \hbar \omega \left(0 + \frac{1}{2}\right) = {\color[RGB]{0,112,192}{\bm{\frac{\hbar \omega}{2}}}} \atop E_1 = \hbar \omega \left(1 + \frac{1}{2}\right) = {\color[RGB]{0,112,192}{\bm{\frac{3\hbar \omega}{2}}}} \right \}

La diferencia de energía es:

\Delta E = E_1 - E_0 = \frac{3\hbar \omega}{2} - \frac{\hbar \omega}{2}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\Delta E = \hbar \omega}}}