Constante de normalización y probabilidad de estar en el estado fundamental sabiendo la función de onda (8396)

, por F_y_Q

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Una partícula de masa «m» está confinada en una caja unidimensional de longitud «L», con paredes infinitamente altas, es decir, con potencial infinito fuera de la caja. La función de onda inicial de la partícula es:

\Psi(x,0) = \left\{ {A\cdot sen(\frac{\pi\cdot x}{L}),\ \ 0\leq x \leq L \atop 0,\ \ \ \ \ \text{en~otro~caso}}

a) Determina la constante de normalización «A».

b) Encuentra la probabilidad de que la partícula se encuentre en el estado fundamental (n=1).

P.-S.

a) La normalización de la función de onda debe cumplir:

\int_0^L |\Psi(x,0)|^2 dx = 1

El cuadrado de la función de onda, en el intervalo de la integral, y la integral que tienes que resolver son:

{\color[RGB]{0,112,192}{\bm{|\Psi(x,0)|^2 = A^2 \sen^2 \left(\frac{\pi x}{L}\right)}}}\ \to\ {\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\int_0^L A^2 \sen^2 \left(\frac{\pi x}{L}\right) dx = 1}}}

Se trata de una integral con integrando trignométrico y puedes resolverla si tienes en cuenta la ecuación del cuadrado del seno:

\color[RGB]{0,112,192}{\bm{\sen^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}}}

Sustituyes en la función:

\int_0^L A^2 \sen^2 \left(\frac{\pi x}{L}\right) dx = \frac{A^2}{2} \int_0^L \left[1 - \cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right)}\right] dx

Para hacer la integral la separas en dos integrales:

A^2 \int_0^L \frac{1}{2} dx - A^2 \int_0^L \frac{\cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right)}{2} dx = 1

La primera integral es:

A^2 \int_0^L \frac{1}{2} dx = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{A^2 \frac{L}{2}}}

La integral trigonométrica es:

\frac{A^2}{2} \int_0^L \cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right) dx = \frac{A^2\cdot L}{4\pi}\cdot \left[\sen\left(\frac{2\pi\cdot x}{L}\right)\right]_0^L = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 0}

La constante de normalización será:

\frac{A^2\cdot L}{2} = 1\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{A = \sqrt{\frac{2}{L}}}}}


b) La función de onda del estado fundamental de una partícula en una dimensión es:

\psi_1 = \sqrt{\frac{2}{L}}\cdot \sen\left(\frac{\pi\cdot x}{L}\right)

Observa que es de la misma forma que la función de onda y eso va a ser muy relevante. La probabilidad de que esté en el estado fundamental será:

{\color[RGB]{2,112,20}{\bm{P_1 = \left| \int_0^L \psi_1^*(x) \Psi(x,0) dx \right|^2}}}\ \to\ P_1 = \left| \int_0^L \sqrt{\frac{2}{L}} \sen\left(\frac{\pi x}{L}\right) \cdot \sqrt{\frac{2}{L}} \sen\left(\frac{\pi x}{L}\right) dx \right|^2

Simplificas la expresión anterior y resuelves:

P_1 = \left| \int_0^L \frac{2}{L} \sin^2\left(\frac{\pi x}{L}\right) dx \right|^2 = \frac{2}{L}\cdot {\color[RGB]{0,112,192}{\bm{\frac{L}{2}}}}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{P_1 = 1}}}