PAU Madrid: física (junio 2026) - ejercicio 3A (8710)

, por F_y_Q

|

La ecuación de una onda transversal que se propaga a lo largo de la dirección positiva del eje x viene dada por la expresión $$$ \text{y(x,t)}=\text{Asen}(\omega \text{t} - \text{kx} + \phi)$$$. En la figura (a) se representa el desplazamiento de los diferentes puntos del medio en el instante t = 0. En la figura (b) se representa la velocidad de oscilación del punto x = 0 del medio en función del tiempo. Determina:

a) La amplitud de la onda «A» y el número de ondas «k».

b) La fase de la onda «$$$ \phi$$$» y el valor máximo de la velocidad de oscilación.

c) La velocidad de propagación de la onda.

P.-S.

a) Si miras el gráfico (a), el valor máximo de elongación que marca la onda, para el instante inicial, es de 4 cm. Ese valor es el que coincide con el valor de la amplitud de la onda. Por lo tanto:

$$$ \text{A} = 4\text{ cm}\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf A = 0.04\ m}}$$$


En esta misma gráfica tienes que buscar dos puntos consecutivos con la misma elongación y ver qué valores de «x» corresponden a ambos. La diferencia entre esos valores será la longitud de onda. Si fijas la atención en los mínimos de la onda puedes ver que se encuentran en los valores 1.5 m y 7.5 m. La longitud de onda será:

$$$ \lambda = \mathrm{(x_2 - x_1)} = (7.5 - 1.5)\ \text{m}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf \lambda = 6\ m}$$$

Una vez que conoces la longitud de onda puedes calcular el número de ondas:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{k = \dfrac{2\pi}{\lambda}}} = \dfrac{2\pi}{6\ \text{m}}\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf k = 1.05\ rad\cdot m^{-1}}}$$$



b) En el gráfico (b) puedes ver la velocidad de oscilación del punto x = 0 en función del tiempo. La ecuación de la velocidad de oscilación es:

$$$ \mathrm{v_{\text{osc}}(x, t)} = \mathrm{\dfrac{\partial y}{\partial t}} = \color{forestgreen}{\bf A\omega \cos(\omega t - kx + \phi)}$$$

La velocidad máxima coincide con el valor uno para el coseno, es decir:

$$$ \mathrm{v_{\text{osc, máx}}} = \mathrm{A\omega}\quad (\text{Ec}.1)$$$

Si buscas los valores de tiempo para dos valores consecutivos de la misma velocidad, de manera análoga a como lo hiciste en el gráfico (a) en el apartado anterior, verás que los máximos corresponden a los valores 4 y 8 s. La diferencia entre ambos tiempos es el periodo:

$$$ \text{T} = (8 - 4)\ \text{s}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf T = 4\ s}$$$

La frecuencia angular es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\omega = \dfrac{2\pi}{\text{T}}}} = \dfrac{2\pi}{4\ \text{s}}\ \to\ \color{royalblue}{\bf \omega = \dfrac{\pi}{2}\ rad\cdot s^{-1}}$$$

Ya puedes calcular el valor máximo de la velocidad de oscilación, sustituyendo en la (Ec. 1):

$$$ \mathrm{v_{\text{osc, máx}}} = 0.04\ \text{m}\cdot \dfrac{\pi}{2}\ \text{rad}\cdot \text{s}^{-1} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 6.28\cdot 10^{-2}\ m\cdot s^{-1}}}$$$


Para calcular el desfase debes analizar el gráfico (a) para ver el valor de la elongación en la posición y tiempo iniciales, es decir, «y(0,0)». Puedes ver que ese valor es cero, por lo que, sustituyendo en la ecuación de la onda:

$$$ \text{y}(0, 0) = \text{Asen}(\phi) = 0 \implies \begin{cases} \phi = 0\text{ rad} \\ \phi = \pi\text{ rad} \end{cases}$$$

Para saber cuál de los dos valores es el correcto tienes volver a mirar el gráfico (b). En t = 0, la velocidad máxima es positiva:

$$$ \mathrm{v_{\text{osc}}}(0, 0) = \text{A}\omega \text{cos}(\phi) \gt 0 \implies \begin{cases} \text{Si}\ \phi = 0\ \to\ \text{cos}(0) = 1 \gt 0 \\ \text{Si}\ \phi = \pi\ \to\ \text{cos}(\pi) = -1 \lt 0 \end{cases}\ \implies \color{firebrick}{\boxed{\bf \phi = 0\ rad}}$$$



c) La velocidad de propagación de la onda es el cociente entre la longitud de onda y el periodo. Como conoces ambas magnitudes:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{v = \dfrac{\lambda}{T}}} = \dfrac{6\ \text{m}}{4\ \text{s}}\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf v= 1.5\ m\cdot s^{-1}}}$$$


RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO EN VÍDEO.

En la misma sección

Palabras clave