Ecuación de una onda transversal a partir de amplitud, frecuencia y velocidad (8199)

, por F_y_Q

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Una onda transversal de 5 cm de amplitud y 25 Hz de frecuencia se propaga con una velocidad de 15 m/s por una cuerda tensa hacia la derecha.

a) Calcula la ecuación matemática de la onda.

b) Determina el primer instante en el que la velocidad de vibración de una partícula situada a 1 m del foco es máxima.

P.-S.

a) La ecuación general de una onda transversal que se desplaza hacia la derecha es:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{y(x, t) = A\cdot sen \left[2\pi\cdot \left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right) + \theta_0\right]}}

Como conoces la frecuencia, puedes obtener el periodo:

f = \frac{1}{T}\ \to\ T = \frac{1}{f} = \frac{1}{25\ s^{-1}}\ \to\ \color[RGB]{0,112,192}{\bf T = 0.04\ s}

La longitud de onda la obtienes a partir de la velocidad de propagación y la frecuencia:

v = \lambda\cdot f\ \to\ \lambda = \frac{v}{f} = \frac{15\ m\cdot \cancel{s^{-1}}}{25\ \cancel{s^{-1}}}\ \to\ \color[RGB]{0,112,192}{\bm{\lambda = 0.6\ m}}

Sustituyes los valores calculados en la ecuación general:

\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{y(x, t) = 0.05\cdot sen \left[2\pi\cdot \left(\frac{t}{0.04} - \frac{x}{0.6}\right) + \theta_0\right]}}}


b) Tienes que derivar la ecuación de anterior para obtener la ecuación de la velocidad, pero tendrás que suponer que el desfase el nulo porque no dice nada el enunciado:

v = \frac{dy}{dt} = 0.05\cdot \frac{2\pi}{0.04}\cdot cos \left[2\pi \left(\frac{t}{0.04} - \frac{x}{0.6}\right) \right]\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{v(x, t) = 2.5\pi\cdot cos \left[2\pi \left(\frac{t}{0.04} - \frac{x}{0.6}\right)\right]}}

La vibración es máxima cuando lo es la velocidad, es decir, cuando la función trigonométrica es igual a uno. Esto ocurre para el coseno de 2\pi y cuando x = 1, por lo tanto:

\cancel{2\pi} \left(\frac{t}{0.04} - \frac{1}{0.6}\right) = \cancel{2\pi}\ \to\ \frac{t}{0.04} = 1 + \frac{1}{0.6}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf t = 0.107\ s}}