Aceleración de un disco homogéneo que rueda por un plano inclinado (791)

, por F_y_Q

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Deduce la expresión de la aceleración que adquiere un disco homogéneo que rueda, sin deslizar, por un plano inclinado.

P.-S.

Para hacer la deducción debes considerar las fuerzas que actúan sobre el disco y su momento de fuerza o torque.

Sobre el disco actúan:
a) La componente «x» del peso, paralela a la superficie del plano inclinado: $$$ \text{p}_\text{x} = \text{m}\cdot \text{g}\cdot \text{sen}\ \theta$$$.
b) La normal, que es perpendicular a la superficie del plano inclinado e igual a la componente «y» del peso: $$$ N = \text{m}\cdot \text{g}\cdot \text{cos}\ \theta$$$.
c) El rozamiento estático, que es paralelo al plano y se opone al movimiento. Es: $$$ F_R = \mu\cdot \text{m}\cdot \text{g}\cdot \text{cos}\ \theta$$$.

Si aplicas la segunda ley de Newton obtienes la aceleración con la que se traslada el centro de masas del disco:

$$$ \color{forestgreen}{\bf p_x - F_R = m\cdot a} \quad (1)$$$

Como también existe un movimiento de rotación, debes tener en cuenta el momento de fuerza con respecto al centro de masas. La única fuerza que produce torque es la fuerza de rozamiento, dado que el peso y la normal pasan por el centro de masas. El torque es:

$$$ \tau = \text{F}_\text{R}\cdot \text{R} = \text{I}\cdot \alpha\ \to\ \color{forestgreen}{\bf F_R = \dfrac{I\cdot \alpha}{R}} \quad (2)$$$

siendo «R» el radio del disco, «I» su momento de inercia y «$$$ \alpha$$$» la aceleración angular.

Para que el disco ruede sin deslizamiento se debe cumplir la siguiente condición:

$$$ \text{a} = \alpha\cdot \text{R}\ \Rightarrow\ \color{forestgreen}{\bf \alpha = \dfrac{a}{R}} \quad (3)$$$

Si sustituyes la ecuación (3) en la ecuación (2):

$$$ \color{forestgreen}{\bf F_R = \dfrac{I\cdot a}{R^2}}$$$

El momento de inercia de un disco homogéneo es:

$$$ \color{royalblue}{\bf I = \dfrac{m\cdot R^2}{2}}\ \quad (4)$$$

Sustituyes el valor de «I» en la ecuación de la fuerza de rozamiento y obtienes:

$$$ \require{cancel} \text{F}_\text{R} = \dfrac{\text{m}\cdot \cancel{\text{R}^2}\cdot \text{a}}{2\ \cancel{\text{R}^2}}\ \to \color{forestgreen}{\bf F_R = \dfrac{m\cdot a}{2}} \quad (5)$$$

Ya puedes sustituir (5) en la ecuación (1) para obtener la expresión que buscas:

$$$ \require{cancel} \cancel{\text{m}}\cdot \text{g}\cdot \text{sen}\ \theta - \dfrac{\cancel{\text{m}}\cdot a}{2} = \cancel{\text{m}}\cdot \text{a}\ \to\ \text{g}\cdot \text{sen}\ \theta = \dfrac{3\text{a}}{2}\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf a = \dfrac{2g\cdot sen\ \theta}{3}}}$$$

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