Velocidad y aceleración de un móvil en función del tiempo (8457)

, por F_y_Q

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Un móvil describe una trayectoria en el plano XY dada por el vector de posición, expresado en unidades SI:

\vec{r}(t) = (3t^2 - 2)\ \vec{i} + (4 \sen\ 2t)\ \vec{j}

a) Determina los vectores velocidad y aceleración en función del tiempo.

b) Calcula los vectores velocidad y aceleración en el instante t = \pi/4\ s.

c) Halla el módulo de la velocidad y de la aceleración en t = \pi/4\ s.

P.-S.

a) Para obtener el vector velocidad tienes que derivar el vector de posición dado, en función del tiempo:

\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\frac{d}{dt} \left( (3t^2 - 2)\ \vec{i} + (4 \sen\ 2t)\ \vec{j} \right)}}

La velocidad es:

\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\vec{v}(t) = 6t\ \vec{i} + 8 \cos\ 2t\ \vec{j}\ (m\cdot s^{-1})}}}


La aceleración la obtiene al derivar la velocidad con respecto al tiempo:

\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\frac{d}{dt} \left(6t\ \vec{i} + 8\ \cos\ 2t\ \vec{j} \right)}}

La aceleración es:

\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\vec{a}(t) = 6\ \vec{i} - 16 \sen\ 2t\ \vec{j}\ (m\cdot s^{-2})}}}


b) Para obtener los vectores en un instante dado, solo tienes que sustituir el valor en las ecuaciones de cada vector:

\left \vec{v}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 6 \left(\frac{\pi}{4}\right)\ \vec{i} + 8 \cancelto{0}{\cos\ \left(2\cdot \frac{\pi}{4}\right)}\ \vec{j}\ \to {\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\vec{v} = \frac{3\pi}{2}\ \vec{i}\ (m\cdot s^{-1})}}}} \atop \vec{a}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 6\ \vec{i} - 16 \cancelto{1}{\sen\ \left(\frac{\pi}{2}\right)}\ \vec{j}\ \to\ {\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\vec{a} = 6\ \vec{i} - 16\ \vec{j}\ (m\cdot s^{-2})}}} \right


c) El cálculo de los módulos lo haces en función de las componentes de cada vector, según la ecuación:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{|\vec{u}| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}}}

Para la velocidad, como solo hay una componente, el módulo es:

|\vec{v}| = \sqrt{\left(\frac{3\pi}{2}\right)^2 + 0^2} = \frac{3\pi}{2} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{4.71\ m\cdot s^{-1}}}}


Para la aceleración es:

|\vec{a}| = \sqrt{6^2 + (-16)^2} = \sqrt{292} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{17.1\ m\cdot s^{-2}}}}