Posición, velocidad, momento lineal y aceleración del centro de masas de un sistema de dos partículas (8415)

, por F_y_Q

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Un sistema de dos partículas de masas 2 y 3 kg se mueven en el plano XY. En un instante dado, las posiciones y velocidades de las partículas son:

\left \vec{r}_1 = (1, 2)\ (m)\ y\ \vec{v}_1 = (3, -1)\ (m\cdot s^{-1}) \atop \vec{r}_2 = (-2, 1)\ (m)\ y\ \vec{v}_2 = (-1, 4)\ (m\cdot s^{-1}) \right \}

a) Calcula la posición del centro de masas (CM) del sistema.

b) Determina la velocidad del centro de masas.

c) Calcula el momento lineal total del sistema.

d) Determina el momento angular total del sistema respecto al origen.

e) Si las partículas están sometidas a las fuerzas externas \vec{F}_1 = (2, 0)\ (N) y \vec{F}_2 = (0, 3)\ (N) , calcula la aceleración del centro de masas.

P.-S.

a) La posición del centro de masas la calculas con la expresión:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\vec{r}_{CM} = \frac{m_1\cdot \vec{r}_1 + m_2\cdot \vec{r}_2}{m_1 + m_2}}}

Sustituyes los valores dados en el enunciado y calculas. Es buena idea hacerlo componente a componente:

\vec{r}_{\text{CM}} = \frac{[2\cdot 1 + 3\cdot (-2)]\ \cancel{kg}\cdot m}{(2 + 3)\ \cancel{kg}}\ \vec{i} + \frac{(2\cdot 2 + 3\cdot 1)\ \cancel{kg}\cdot m}{(2 +3)\ \cancel{kg}}\ \vec{j}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\vec{r}_{CM} = \frac{-4}{5}\ \vec{i} + \frac{7}{5}\ \vec{j}\ (m)}}}


b) El cálculo de la velocidad del centro de masas las calculas, de manera análoga al apartado anterior, con la ecuación:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\vec{v}_{CM} = \frac{m_1\cdot \vec{v}_1 + m_2\cdot \vec{v}_2}{m_1 + m_2}}}

Sustituyes los valores y calculas:

\vec{v}_{CM} = \frac{[2\cdot 3 + 3\cdot (-1)]\ \cancel{kg}\cdot \frac{m}{s}}{(2 + 3)\ \cancel{kg}}\ \vec{i} + \frac{[2\cdot (-1) + 3\cdot 4]\ \cancel{kg}\cdot \frac{m}{s}}{(2 +3)\ \cancel{kg}}\ \vec{j}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\vec{r}_{CM} = \frac{3}{5}\ \vec{i} + 2\ \vec{j}\ (m\cdot s^{-1})}}}


c) El momento lineal total del sistema es:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\vec{P}_T = m_1\cdot \vec{v}_1 + m_2\cdot \vec{v}_2}}

Sustituyes y calculas:

\vec{P}_T = \left[[2\cdot 3 + 3\cdot (-1)]\ \vec{i} + [2\cdot (-1) + 3\cdot 4]\ \vec{j}\right]\ \left(\frac{kg\cdot m}{s^{-1}}\right)\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\vec{P}_T = 3\ \vec{i} + 10\ \vec{j}\ (kg\cdot m\cdot s^{-1})}}}


d) El momento angular total se calcula con la ecuación:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\vec{L}_T = \vec{r}_1\times m_1\cdot \vec{v}_1 + \vec{r}_2\times m_2\cdot \vec{v}_2}}

Lo mejor es hacer los productos vectoriales para cada una de las partículas y luego sumarlos.

Primera partícula:

\vec{L}_1 = \left| \begin{array}{ccc} \vec i & \vec j & \vec k \\\newline 1 & 2 & 0 \\\newline 6 & -2 & 0 \end{array} \right|= \color[RGB]{0,112,192}{\bm{-14\ \vec{k}\ (kg\cdot m^2\cdot s^{-1})}}

Segunda partícula:

\vec{L}_2 = \left| \begin{array}{ccc} \vec i & \vec j & \vec k \\\newline -2 & 1 & 0 \\\newline -3 & 12 & 0 \end{array} \right|= \color[RGB]{0,112,192}{\bm{-21\ \vec{k}\ (kg\cdot m^2\cdot s^{-1})}}

El momento angular total es:

\vec{L}_T = \vec{L}_1 + \vec{L}_2 = [-14 + (-21)]\ \vec{k} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{-35\ \vec{k}\ (kg\cdot m^2\cdot s^{-1})}}}


e) Para calcular la aceleración del centro de masas haces el cociente entre la fuerza exterior y la masa total del sistema:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\vec{a}_{CM} = \frac{\sum \vec{F}_{ext}}{m_1 + m_2}}}

Como son dos las fuerzas externas al sistema, la aceleración es:

\vec{a}_{CM} = \frac{\vec{F}_1 + \vec{F}_2}{m_1 + m_2} = \left(\frac{2\ N}{5\ kg}\ \vec{i} + \frac{3\ N}{5\ kg}\ \vec{j}\right)\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\vec{a}_{CM} = \frac{2}{5}\ \vec{i} + \frac{3}{5}\ \vec{j}\ (m\cdot s^{-2})}}}