Lanzamiento parabólico en un partido entre Brasil y Argentina (6389)

, por F_y_Q

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En un partido amistoso de fútbol entre Argentina y Brasil, cuando estaban empatados a uno y en el minuto 90, el árbitro pita una falta a favor de Brasil alejada 32 m de la portería. El jugador que la lanza es capaz de imprimir una velocidad de 30 m/s a la pelota y la barrera de los jugadores argentinos, de una altura media de 1.80 m, se sitúa a 12 m del punto de lanzamiento. Determina:

a) ¿Cuál debe ser el ángulo del lanzamiento para colocar el balón en la esquina superior izquierda sin que la barrera obstruya el lanzamiento?

b) ¿Cuál debe ser el ángulo del lanzamiento para colocar el balón en la esquina inferior izquierda sin que la barrera obstruya el lanzamiento?

P.-S.

Se trata de un problema de lanzamiento oblicuo y la resolución se va a hacer paso a paso, explicando las aproximaciones necesarias.

a) Colocar el balón en la esquina superior izquierda sin que la barrera obstruya el lanzamiento.

En primer lugar, debes determinar el ángulo mínimo necesario para que el balón pase por encima de la barrera.

Las ecuaciones del lanzamiento oblicuo son:

\left {\color[RGB]{2,112,20}{\bm{x(t) = v_0\cdot t\cdot cos\ \theta}}} \atop {\color[RGB]{2,112,20}{\bm{y(t) = v_0\cdot t\cdot sen\ \theta - \frac{g}{2}\cdot t^2}}} \right \}

El balón pasará la barrera si a la distancia horizontal que está la barrera su altura es mayor que la de la altura media. El tiempo que tarda la pelota es:

t_b = \frac{d_b}{v_0\cdot cos\ \theta}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{t_b = \frac{12}{30\cdot cos\ \theta}}}

Sustituyes en la ecuación de la posición vertical el valor anterior del tiempo:

y(t_b) = v_0 \cdot \left(\frac{12}{30\cdot cos\ \theta}\right)\ sen\ \theta - \frac{g}{2} \left(\frac{12}{30\cdot cos\ \theta} \right)^2\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{y(t_b) = 12tg\ \theta - 4.9\left(\frac{0.16}{cos^2\ \theta}\right)}}

Para resolver la ecuación anterior puedes hacer dos simplificaciones muy útiles para ángulos pequeños:

\left tg\ \theta\ \approx \theta \atop cos\ \theta\ \approx 1 \right \}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{y(t_b) = 12\theta - 4.9\cdot 0.16}}

Despejando el valor del ángulo obtienes:

\theta \geq \frac{1.80 + 0.784}{12}\ \to\ \color[RGB]{0,112,192}{\bm{\theta \geq 12.3^o}}

Ya tienes el ángulo mínimo para pasar la barrera, pero debes ajustar el ángulo para que el balón llegue a la portería a la altura del travesaño, que en una portería de fútbol está a 2.44 m.

El tiempo para que llegue a la portería es ahora:

t_p = \frac{d_p}{v_0\cdot cos\ \theta}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{t_p = \frac{32}{30\cdot cos\ \theta}}}

Al sustituir en la ecuación de la altura de la pelota, de manera análoga al caso anterior, obtienes la ecuación:

y(t_p) = v_0 \cdot \left(\frac{32}{30\cdot cos\ \theta}\right)\ sen\ \theta - \frac{g}{2} \left(\frac{32}{30\cdot cos\ \theta} \right)^2\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{y(t_p) = 32\theta - 4.9\cdot 1.14}}

Despejas el valor del ángulo y resuelves:

\theta \geq \frac{2.44 + 5.59}{32}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\theta \geq 14.4^o}}}


b) Colocar el balón en la esquina inferior izquierda sin que la barrera obstruya el lanzamiento.

La condición para superar la barrera es la misma que en el apartado anterior y el ángulo mínimo para ello sigue siendo \theta = 12.3^o. Lo único que debes cambiar es la condición que tiene que cumplir la altura de la pelota cuando llegue a la portería: en este caso será que la altura sea cero:

y(t_p) = 32\theta - 4.9\cdot 1.14\ \to\ \theta \geq \frac{5.59}{32}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\theta \geq 10^o}}}


Observa que esta condición ya está incluida en la condición impuesta para que la pelota supere la barrera, con lo que el ángulo \theta = 12.3^o será suficiente.