Momento de inercia de un sistema de dos esferas unidas por un hilo (8377)

, por F_y_Q

|

Dos masas puntuales m_1 y m_2 están separadas por una barra sin masa de longitud L:

a) Deduce una expresión para el momento de inercia del sistema, respecto a un eje perpendicular a la barra y que pasa por un punto situado a una distancia x_1 de la masa m_1.

b) Calcula la variación del momento angular con la distancia y demuestra que es mínima cuando el eje pasa por el centro de masas del sistema.

P.-S.

Hacer un esquema de la situación es muy útil para poder visualizar el sistema:


a) El momento de inercia para un sistema como el de la figura es:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{I = \sum m_i\cdot r_i^2}}

Teniendo en cuenta que está expresado en función de la posición con respecto a la masa 1, la ecuación queda como:

I = \sum m_1\cdot x_1^2 + m_2\cdot (L-x_1)^2 = m_1\cdot x_1^2 + m_2\cdot L^2 - 2m_2\cdot L\cdot x_1 + m_2\cdot x_1^2

Si agrupas los términos, la expresión que buscas es:

\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{I = (m_1 + m_2)\cdot x_1^2 + m_2\cdot L^2 - 2m_2\cdot L\cdot x_1}}}


b) Haces la derivada de la expresión anterior con respecto a x_1:

\frac{dI}{dx_1} = \color[RGB]{2,112,20}{\bm{2x_1(m_1 + m_2) - 2m_2\cdot L}}

Para que sea un mínimo, esta expresión tiene que ser igual a cero. Igualas a cero y despejas el valor de x_1:

2x_1(m_1 + m_2) - 2m_2\cdot L = 0\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{x_1 = \frac{m_2\cdot L}{(m_1 + m_2)}}}}


Esta expresión coincide con la del centro de masas del sistemas, si tomas m_1 como referencia. En este caso, x_1 = 0 y la masa m_2 se sitúa a una distancia «L»:

x_{CM} = \frac{m_1\cdot \cancelto{0}{x_1} + m_2\cdot L}{(m_1 + m_2)}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{x_{CM} = \frac{m_2\cdot L}{(m_1 + m_2)}}}}

lvonlineLvonline SlottogelhokTogelhokScatter HitamSlotDaftar LvonlineMahjong Wins 2Scatter HitamSlot QrisLvoslotWild Bounty ShowdownTOGELHOKToto MacauMahjong SlotCapcut88Slot DanaSlot ZeusSlot BonusNoLimit CityTogel OnlineSlot777Scatter Hitam MahjongSlot ThailandSlot Luar NegeriSitus Slot ThailandSlot VietnamSlot KambojaSBOBET LoginSlot77Slot Thailand GacorScatter Hitam Mahjong WaysCMD Sports
Bebas Bermain Game Mahjong Ways, Capcut88 Memberikan JackpotMahjong Ways Scatter Hitam Menjadi TrendingBom Meledak Di Sweet Bonanza x1000Mahjong Scatter Hitam Pola AmpuhKemenangan Mahjong Ways, Siapkan Rekeningmu Pasti PecahAnime Popeye Masuk Domain Mahjong Ways 2 Publik Di 2025Petir Rasengan Zeus Pecah Modal RecehPrediksi Tren Pola Scatter Hitam 2025Tips Investasi Bagi Pemula Siap-Siap Cuan Saldo Berserak Memuncak Scatter Hitam Di 2025Viral Guru Di Olympus Jalan Kaki Olympus - Olympus 1000 Usai Memberikan Maxwin