Peso que marca una báscula en un plano inclinado (1238)

, por F_y_Q

Se sitúa una persona de masa «m» sobre una báscula que desliza sin rozamiento sobre un plano inclinado con un ángulo \alpha con la horizontal. ¿Qué peso marca la báscula mientras desliza sobre el plano inclinado? Se coloca la báscula sobre una cuña que desliza sobre el mismo plano sin rozamiento, ¿qué peso marca ahora la báscula?

P.-S.

Lo ideal es hacer una representación de la situación que describe el problema. La imagen puede ser esta:

Esta situación puede ser expresada como un esquema en el que dibujar las fuerzas presentes:

a) En rojo está representado el peso de la persona, que tiene que ser descompuesto en componentes que coincidan con los ejes de referencia, que son los punteados. Las componentes del peso se pueden obtener a partir del ángulo que forma el plano, que es el mismo que está marcado en el esquema:

\left p_x = p\cdot sen\ \alpha \atop p_y = p\cdot cos\ \alpha \right \}\ \to\ \left {\color[RGB]{2,112,20}{\bm{p_x = m\cdot g\cdot sen\ \alpha}}} \atop {\color[RGB]{2,112,20}{\bm{p_y = m\cdot g\cdot cos\ \alpha}}} \right \}

Si tienes dificultades para entender por qué el ángulo en el mismo, puedes ver este problema resuelto en vídeo en el que lo explico.

Si aplicas la segunda ley de Newton al eje en el que se sitúa la normal, que es la fuerza que mide la báscula, obtienes:

\sum \vec{F} = 0\ \to\ \vec{p}_y - \vec{N} = 0\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{p_y = N}}

Como la báscula mide la componente «y» del peso marcará:

\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{N= m\cdot g\cdot cos\ \alpha}}}


b) Ahora la situación es diferente:



Puedes tomar un sistema de referencia distinto que te ayuda a enteder qué está pasando, en el que la aceleración con la que desliza la cuña que sostiene a la persona queda fuera del sistema:

La aceleración con la que desciende por el plano es igual a la componente de la aceleración del apartado anterior:

a = g\cdot sen\ \alpha

Si descompones la aceleración, la componente «y» en este nuevo sistema de referencia es:

a_y = a\cdot sen\ \alpha\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{a_y = g\cdot sen^2\ \alpha}}

En el eje vertical tienes dos fuerzas que han de cumplir la ecuación:

p - N^{\prime} = m\cdot a_y

Despejas el valor de la normal, que es lo que marca la báscula:

N^{\prime} = p - m\cdot a_y = m\cdot g - m\cdot g\cdot sen^2\ \alpha\ \to\ N^{\prime} = mg(1 - sen^2\ \alpha)

Si aplicas la ecuación fundamental de la trigonometría (cos^2\ \alpha + sen^2\ \alpha = 1), obtienes:

\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{N^{\prime} = m\cdot g\cdot cos^2\ \alpha}}}