Valor del oro que recubre una moneda (5015)

, por F_y_Q

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La monedas de colección a veces se recubren de oro para mejorar su belleza y valor. Considera un cuarto de dólar conmemorativo que se anuncia a la venta en 4.98 dólares. Tiene un diámetro de 24.1 mm y un grosor de 1.78 mm, y está cubierto por completo con una capa de oro puro de 0.18\ \mu m de espesor. El volumen del recubrimiento es igual al grosor de la capa por el área a la cual se aplica. Los patrones en las caras de la moneda y los surcos en los bordes tienen efectos despreciables sobre su área. Supón que el costo del oro es de 10 dólares por gramo. Encuentra el costo del oro agregado a la moneda.

Densidad del oro = 19.3\ g/cm^3

P.-S.

En primer lugar calculas la superficie que tiene una cara de la moneda:

S_{cara} = \pi R^2 = \pi \cdot \left(\frac{\emptyset}{2}\right)^2 = 3.14\cdot 12.05^2\ mm^2 = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{456\ mm^2}}

Como tiene dos caras, la superficie debida a las caras de la moneda será el doble, es decir, \color[RGB]{0,112,192}{\bm{912\ mm^2}}.

La superficie del borde de la moneda será el producto de la longitud de la circunferencia por el grosor de ella:

S_{borde} = 2\pi \cdot R\cdot d = 6.28\cdot 12.05\ mm\cdot 1.78\ mm = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{134,7\ mm^2}}

Si sumas las áreas obtenemos un valor total de \color[RGB]{0,112,192}{\bm{S_T = 1\ 046.7\ mm^2}}.

Para poder calcular el volumen de oro debes expresar el grosor en mm, por lo que el valor a considerar será 1.8\cdot 10^{-4}\ mm. El volumen de oro que recubre la moneda será:

V = 1\ 046.7\cdot mm^2\cdot 1.8\cdot 10^{-4}\ mm = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{0.188\ mm^3}}

Conviertes el volumen en cm ^3 para poder calcular la masa de oro que la recubre, siendo el volumen: \color[RGB]{0,112,192}{\bm{V = 1.88\cdot 10^{-4}\ cm^3}}. La masa de oro es:

m_{Au} = 1.88\cdot 10^{-4}\ \cancel{cm^3}\cdot 19.3\ \frac{g}{\cancel{cm^3}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{3.63\cdot 10^{-3}\ g}}

Como cada gramo de oro cuesta 10 dólares, serán:

3.63\cdot 10^{-3}\ \cancel{g}\cdot \frac{10\ d\acute{o}lar}{\cancel{g}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{3.63\cdot 10^{-2}\ d\acute{o}lar}}}


El costo añadido será de 3.63 centavos de dólar.