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Aceleración, fuerza y trabajo de un pistón cuando trabaja a dos regímenes de vueltas (6188)

Viernes 17 de enero de 2020, por F_y_Q

El movimiento del pistón de un motor de automóvil es aproximadamente armónico simple.

a) Si la carrera del pistón (el doble de la amplitud) es de 10 cm y el motor trabaja a 3 500 rev/min, calcula la magnitud de la aceleración que tiene el pistón en el extremo de su carrera.

b) Si el pistón tiene una masa de 450 g, calcula la fuerza neta que se ejerce sobre él en ese punto. ¿Cuál sería la masa en kg con un peso equivalente a esta fuerza?

c) Calcula la celeridad y la energía cinética que tiene el pistón en el punto medio de su carrera.

d) Calcula la potencia media, en vatios y en HP, que se requiere para acelerar el pistón desde el reposo, hasta la rapidez determinada en apartado anterior.

e) Repite los apartados b), c) y d) para un régimen de trabajo del motor a 7 000 rev/min.

Expresa los resultados en el Sistema Internacional de unidades.

Debes expresar todos los datos en el Sistema Internacional de unidades:

a) La aceleración del pistón será la aceleración normal:

$A = 5\ \cancel{cm}\cdot \frac{10^{-2}\ m}{1\ \cancel{cm}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{5\cdot 10^{-2}\ m}}$

$\omega = 3\ 500\ \frac{\cancel{rev}}{\cancel{min}}\cdot \frac{2\pi}{1\ \cancel{rev}}\cdot \frac{1\ \cancel{min}}{60\ s} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{366.3\ s^{-1}}}$

Ahora puedes calcular la aceleración:

$a_n = \frac{v^2}{R} = \frac{\omega^2\cdot R\cancel{^2}}{\cancel{R}} = 366.3^2\ s^{-2}\cdot 5\cdot 10^{-2}\ m = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{6.71\cdot 10^3\ \frac{m}{s^2}}}}$

b) La fuerza que ejerce sobre él es:

$F = m\cdot a = 0.45\ kg\cdot 6.71\cdot 10^3\ \frac{m}{s^2} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{3.02\cdot 10^3\ N}}}$

La masa equivalente la calculas si consideras que la aceleración es la de la gravedad:

$F = m_{eq}\cdot g\ \to\ m_{eq} = \frac{F}{g} = \frac{3.02\cdot 10^3\ N}{9.8\ \frac{m}{s^2}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 308.2\ kg}}$

c) La celeridad la calculas a partir del dato de la velocidad angular:

$v = \omega\cdot R = 366.3\ \s^{-1}\cdot 5\cdot 10^{-2}\ m = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{18.3\ \frac{m}{s}}}}$

Su energía cinética será:

$E_C = \frac{m}{2}v^2 = \frac{0.45\ kg}{2}\cdot 18.3^2\ \frac{m^2}{s^2}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 75.3\ J}}$

d) La potencia la puedes expresar en función de la fuerza y la velocidad:

$P = F\cdot v = 3.02\cdot 10^3\ N\cdot 18.3\ \frac{m}{s} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{5.53\cdot 10^4\ W}}}$

Si lo expresas en HP:

$5.53\cdot 10^4\ \cancel{W}\cdot \frac{1\ HP}{745.7\ \cancel{W}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 74.1\ HP}}$

e) Ahora se trata de rehacer los apartados anteriores para el valor de 7 000 rev/min pero solo presentando las operaciones porque son análogos a los resueltos:

$\omega_2 = 2\cdot \omega = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{732.6\ s^{-1}}}$

$a_{n_2} = 732.6^2\ \s^{-2}\cdot 5\cdot 10^{-2}\ m = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{2.68\cdot 10^4\ \frac{m}{s^2}}}$

$F_2 = 0.45\ kg\cdot 2.68\cdot 10^4\ \frac{m}{s^2} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{1.21\cdot 10^4\ N}}}$

$m_{eq_2} = \frac{F_2}{g} = \frac{1.21\cdot 10^4\ N}{9.8\ \frac{m}{s^2}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 1\ 234.7\ kg}}$

$v_2 = \omega_2\cdot R = 732.6\ s^{-1}\cdot 5\cdot 10^{2}\ m = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{36.6\ \frac{m}{s}}}}$

$E_{C_2} = \frac{m}{2}v_2^2 = \frac{0.45\ kg}{2}\cdot 36.6^2\ \frac{m^2}{s^2} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 301.4\ J}}$

$P_2 = F_2\cdot v_2 = 1.21\cdot 10^4\ N\cdot 36.6\ \frac{m}{s} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{4.43\cdot 10^5\ W}}}$

$4.43\cdot 10^5\ \cancel{W}\cdot \frac{1\ HP}{745.7\ \cancel{W}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 594.1\ HP}}$

Aceleración, fuerza y trabajo de un pistón cuando trabaja a dos regímenes de vueltas (6188)

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