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Movimiento vibratorio en una cuerda tensa (7779)
Sábado 12 de noviembre de 2022, por
Un extremo de una cuerda tensa horizontal de 3 m de longitud está sometida a un movimiento vibratorio armónico simple. En el instante t = 4 s la elongación de ese punto es de 2 cm. Se comprueba que la onda tarda 0.9 s en llegar de un extremo a otro de la cuerda y que la longitud de onda es de 1 m. Calcula:
a) La amplitud del movimiento ondulatorio.
b) La velocidad de vibración en el punto medio de la cuerda para t = 1 s.
a) A partir de la ecuación de la onda para el extremo de la cuerda es, donde x = 0, puedes despejar el valor de la amplitud:
![y = A\cdot sen(\omega\cdot t - \cancelto{0}{kx})\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{A = \frac{y}{sen\ (\omega\cdot t)}}}](local/cache-vignettes/L319xH43/c3d0128e2d97731da0c100e9700f30ac-d9de5.png?1732988599 "y = A\cdot sen(\omega\cdot t - \cancelto{0}{kx})\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{A = \frac{y}{sen\ (\omega\cdot t)}}}"){kind=small}
Puedes calcular el valor de 
a partir de la longitud de onda y la velocidad de propagación:
![\left v = \dfrac{L}{t} \atop v = \lambda\cdot f = \lambda\cdot \dfrac{\omega}{2\pi} \right \}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\omega = \frac{2\pi\cdot L}{\lambda\cdot t}}}](local/cache-vignettes/L265xH71/15963d4ea73daf5625e408841f447129-ddb4f.png?1732988599 "\left v = \dfrac{L}{t} \atop v = \lambda\cdot f = \lambda\cdot \dfrac{\omega}{2\pi} \right \}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\omega = \frac{2\pi\cdot L}{\lambda\cdot t}}}")
Conoces todos los datos que necesitas y puedes hacer el cálculo:
![\omega = \frac{2\pi\cdot 3\ \cancel{m}}{1\ \cancel{m}\cdot 0.9\ s} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{6.67\pi\ s^{-1}}}](local/cache-vignettes/L207xH36/8e393b34db2d17afedc7d24c1252c6a8-a670b.png?1732988599 "\omega = \frac{2\pi\cdot 3\ \cancel{m}}{1\ \cancel{m}\cdot 0.9\ s} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{6.67\pi\ s^{-1}}}"){kind=small}
Con este valor puedes determinar la amplitud del movimiento:
![A = \frac{2\cdot 10^{-2}\ m}{sen\ (6.67\pi)} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{5.6\cdot 10^{-2}\ m}}}](local/cache-vignettes/L247xH41/c219d2a64969b3fc36a91f70fd66f3e9-c9735.png?1732988599 "A = \frac{2\cdot 10^{-2}\ m}{sen\ (6.67\pi)} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{5.6\cdot 10^{-2}\ m}}}"){kind=small}
b) La ecuación de la vibración la obtienes al derivar la ecuación de la elongación para la onda. En este caso debes tener en cuenta el valor de x en la ecuación:
![v = \frac{dy}{dt}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{v = A\cdot \omega\cdot cos\ (\omega\cdot t - k\cdot x)}}](local/cache-vignettes/L307xH36/113d87460108be91428d61c3fc982acf-d1478.png?1732988599 "v = \frac{dy}{dt}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{v = A\cdot \omega\cdot cos\ (\omega\cdot t - k\cdot x)}}"){kind=small}
El número de ondas es fácil de obtener:
![k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{1\ m} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{2\pi\ m^{-1}}}](local/cache-vignettes/L186xH35/175bd1d572a36d52bf4f27389497f9c1-27c17.png?1732988599 "k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{1\ m} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{2\pi\ m^{-1}}}"){kind=small}
Sustituyes en la ecuación de la velocidad y calculas:
![v = 5.6\cdot 10^{-2}\ m\cdot 6.67\pi\ s^{-1}\cdot cos\ (6.67\pi - 2\pi)\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{v = 1.13\ m\cdot s^{-1}}}}](local/cache-vignettes/L499xH24/8be59b9dc667a700c9804a53cdf16882-962f9.png?1732988599 "v = 5.6\cdot 10^{-2}\ m\cdot 6.67\pi\ s^{-1}\cdot cos\ (6.67\pi - 2\pi)\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{v = 1.13\ m\cdot s^{-1}}}}"){kind=small}