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Ecuación de la fuerza, periodo, velocidad máxima y energía mecánica de un oscilador armónico (7783)

Jueves 17 de noviembre de 2022, por F_y_Q

Una partícula de 10.0 g experimenta un MAS con una amplitud de $2.00\cdot 10^{-3}\ m$ y una aceleración máxima de magnitud $8.00\cdot 10^3\ m\cdot s^{-2}$ . La constante de fase es $\frac{\pi}{3}\ rad$ .

a) Escribe una ecuación para encontrar la fuerza sobre la partícula como función del tiempo.

b) ¿Cuál es el periodo del movimiento?

c) ¿Cuál es la máxima rapidez de la partícula?

d) ¿Cuál es la energía mecánica total de este oscilador armónico simple?

a) La fuerza que actúa sobre la partícula cumple que es el producto de la masa por la aceleración. Puedes obtener la ecuación general de la aceleración del sistema derivando dos veces la ecuación general para la posición:

$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}[A\cdot cos(\omega\cdot + \varphi)]\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{v = -A\cdot \omega\cdot sen(\omega\cdot t + \varphi)}}$

$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} [-A\cdot \omega\cdot sen(\omega\cdot t + \varphi)]\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{a = -A\cdot \omega^2\cdot cos(\omega\cdot t + \varphi)}}$

El valor de la frecuencia angular lo obtienes a partir de la aceleración máxima. En ese caso, la función coseno anterior es igual a uno y la ecuación queda como:

$a = A\cdot \omega^2\ \to\ \omega = \sqrt{\frac{a}{A}}\ \to\ \omega = \sqrt{\frac{8\cdot 10^3\ \cancel{m}\cdot s^{-2}}{2\cdot 10^{-3}\ \cancel{m}}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{2\cdot 10^3\ s^{-1}}}$

Sustituyes en la ecuación de la fuerza:

$F = m\cdot a = 10^{-2}\ kg\cdot (-2\cdot 10^{-3}\ m)\cdot (2\cdot 10^3)^2\ s^{-2}\cdot cos(2\cdot 10^3\cdot t + \frac{\pi}{3})$

La ecuación que buscas es:

$\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{F = -80\cdot cos(2\cdot 10^3\cdot t + \frac{\pi}{3})\ (N)}}}$

b) El periodo lo obtienes a partir de la frecuencia angular:

$\omega = \frac{2\pi}{T}\ \to\ T = \frac{2\pi}{2\cdot 10^3\ s^{-1}}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{T = 3.14\cdot 10^{-3}\ s}}}$

c) La rapidez máxima la puedes calcular de la ecuación de la velocidad, pero considerando que el seno es uno:

$v_{m\acute{a}x} = -A\cdot \omega = 2\cdot 10^{-3}\ m\cdot 2\cdot 10^3\ s^{-1}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{v_{m\acute{a}x} = -4.00\ m\cdot s^{-1}}}}$

d) La energía mecánica del oscilador armónico es función de su constante de recuperación y de la amplitud. Si escribes la constante de recuperación en función de la frecuencia angular obtienes la ecuación:

$\left E_M = \frac{1}{2}\cdot k\cdot A^2 \atop \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\ \to\ k = m\cdot \omega^2 \right \}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{E_M = \frac{m\cdot \omega^2\cdot A^2}{2}}}$

Sustituyes y calculas el valor de la energía:

$E_M = \frac{10^{-2}\ kg\cdot (2\cdot 10^3)^2\ s^{-2}\cdot (2\cdot 10^{-3})^2\ m^2}{2}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{E_M = 8\cdot 10^{-2}\ J}}}$

Ecuación de la fuerza, periodo, velocidad máxima y energía mecánica de un oscilador armónico (7783)

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