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Fuerza máxima sobre un cuerpo que oscila armónicamente (7782)

Miércoles 16 de noviembre de 2022, por F_y_Q

Un pequeño cuerpo de 0.12 kg de masa experimenta un MAS de una amplitud de 8.50 cm y un período de 0.20 s.

a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza máxima que actúa sobre él?

b) Si las oscilaciones las produce un resorte, ¿cuál es la constante del resorte?

Lo primero que debes hacer es calcular la frecuencia de oscilación y lo puedes hacer a partir del periodo:

$\left f = \frac{1}{T} \atop \omega = 2\pi\cdot f \right \}\ \to\ {\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\omega = \frac{2\pi}{T}}}}\ \to\ \omega = \frac{2\pi}{0.2\ s} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{10\pi\ s^{-1}}}$

a) La ecuación del MAS es:

$x = A\cdot sen(\omega\cdot t + \varphi)$

Si derivas la ecuación dos veces obtienes la aceleración del movimiento:

$\left v = \dfrac{dx}{dt} = A\cdot \omega\cdot cos(\omega\cdot t + \varphi) \atop a = \dfrac{dv}{dt} = \color[RGB]{2,112,20}{\bm{-A\cdot \omega^2\cdot sen(\omega\cdot t + \varphi)}}$

La fuerza será máxima cuando lo sea la aceleración, es decir, cuando la función seno sea igual a uno. Como la fuerza es el producto de la masa por la aceleración:

$F = m\cdot a = m\cdot (-A\cdot \omega^2)\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{F = -m\cdot A\cdot 100\pi^2}}$

Conoces todos los datos y puedes hacer el cálculo:

$F = -0.12\ kg\cdot 8.5\cdot 10^{-2}\ m\cdot 100\cdot 3.14^2\ s^{-2} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf -10\ N}}$

b) La frecuencia de oscilación puede ser expresada en función de la masa y de la constante recuperadora. Si despejas el valor de la constante:

$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{k = \omega^2\cdot m}}$

El cálculo es inmediato:

$k = 100\pi^2\ s^{-2}\cdot 0.12\ kg = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{118\ \frac{N}{m}}}}$

Fuerza máxima sobre un cuerpo que oscila armónicamente (7782)

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