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Potencia y fuerza de una locomotora que asciende una pendiente (7305)

Viernes 13 de agosto de 2021, por F_y_Q

Una locomotora de 350 toneladas es acelerada mientras asciende por una pendiente desde el punto A hasta el punto B, aumentando su velocidad desde los $20\ \textstyle{km\over h}$ hasta los $60 \ \textstyle{km\over h}$ , como se puede ver en la figura:

Si el coeficiente de rozamiento es 0.15, determina:

a) La potencia desarrollada por la fuerza de rozamiento.

b) La potencia desarrollada por el peso.

c) La fuerza desarrollada por la locomotora.

d) La potencia desarrollada por la fuerza anterior.

Lo primero que debes hace es expresar los datos en unidades SI:

$m = 350\ \cancel{t}\cdot \frac{10^3\ kg}{1\ \cancel{t}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{3.5\cdot 10^5\ kg}}$

$v_A = 20\ \frac{\cancel{km}}{\cancel{h}}\cdot \frac{10^3\ m}{1\ \cancel{km}}\cdot \frac{1\ \cancel{h}}{3.6\cdot 10^3\ s} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{5.56\ \frac{m}{s}}}$

$v_B = 60\ \frac{\cancel{km}}{\cancel{h}}\cdot \frac{10^3\ m}{1\ \cancel{km}}\cdot \frac{1\ \cancel{h}}{3.6\cdot 10^3\ s} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{16.7\ \frac{m}{s}}}$

La distancia que recorre la locomotora sobre el plano es:

$d_{AB} = \frac{425\ m}{sen\ 5^o} = 4\ 876\ m$

Otro dato interesante es calcular la velocidad media de la locomotora para poder calcular las potencias en función de la fuerza y la velocidad según la ecuación:

$P = \frac{W}{t} = \frac{F\cdot d}{t}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bf P = F\cdot v}$

Basta con calcular la media aritmética de las velocidades inicial y final:

$v_m = \frac{v_A + v_B}{2} = \frac{(5.56 + 16.7)\ \frac{m}{s}}{2} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{11.1\ \frac{m}{s}}}$

a) En primer lugar calculas la fuerza de rozamiento:

$F_R = \mu\cdot m\cdot g\cdot cos\ 5^o = 0.15\cdot 3.5\cdot 10^5\ kg\cdot 9.8\ \frac{m}{s^2}\cdot cos\ 5^o = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{5.13\cdot 10^5\ N}}$

La potencia de la fuerza de rozamiento es:

$P_{F_R} = F_R\cdot v_m = 5.13\cdot 10^5\ N\cdot 11.1\ \frac{m}{s} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{5.69\cdot 10^7\ W}}}$

b) La potencia desarrollada por el peso hace referencia a la componente x del peso y es:

$P_{p_x} = m\cdot g\cdot sen\ 5^o\cdot v_m = 3.5\cdot 10^5\ kg\cdot 9.8\ \frac{m}{s^2}\cdot sen\ 5^o\cdot 11.1\ \frac{m}{s} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{3.32\cdot 10^6\ W}}}$

c) La fuerza de la locomotora tiene que ser la suma de la fuerza de rozamiento y la fuerza necesaria para que ascienda con la aceleración que lo hace:

$v_B^2 = v_A^2 + 2ad\ \to\ a = \frac{v_B^2 - v_A^2}{2d} = \frac{(16.7^2 - 5.56^2)\ \frac{m\cancel{^2}}{s^2}}{2\cdot 4\ 876\ \cancel{m}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{2.54\cdot 10^{-2}\ \frac{m}{s^2}}}$

$F_T = F_R + m\cdot a = 5.13\cdot 10^5\ N + 3.5\cdot 10^5\ kg\cdot 2.54\cdot 10^{-2}\ \frac{m}{s^2} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{5.22\cdot 10^5\ N}}}$

d) La potencia que desarrolla la locomotora es:

$P_T = F_T\cdot v_m = 5.22\cdot 10^5\ N\cdot 11.1\ \frac{m}{s} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{5.82\cdot 10^7\ W}}}$

Puedes descargar el enunciado y la resolución del problema en formato EDICO si lo necesitas.

Potencia y fuerza de una locomotora que asciende una pendiente (7305)

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