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Velocidad de los bloques de una máquina de Atwood (7406)

Viernes 26 de noviembre de 2021, por F_y_Q

Dos bloques cuyas masas son $m_1 = 3.00\ kg$ y $m_2 = 2.00\ kg$ están conectados por una cuerda ligera que pasa sobre una polea sin fricción, como se muestra en la figura.

La polea tiene un radio R = 20.0 cm y masa M = 2.50 kg. Si el sistema se libera desde el reposo determina, usando consideraciones energéticas:

a) La rapidez de los bloques cuando el bloque 1 desciende una distancia de 5.00 m.

b) La magnitud de la aceleración de los bloques.

a) Dado que no hay rozamiento, y aplicando consideraciones energéticas, la energía mecánica del sistema al inicio y la final debe ser la misma. Puedes escribir las componentes de esa energía mecánica del sistema al inicio. Ten en cuenta que el sistema parte del reposo, por lo que las energías cinéticas de los bloques y la polea será nula, y tomando como referencia el suelo:

$E_M(i) = E^1_P(i) + \cancelto{0}{E^2_P(i)} + E^p_P(i)\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{E_M(i) = E^1_P(i) + E^p_P(i)}}$

Ahora haces lo mismo para la posición final:

$E_M(f) = \cancelto{0}{E^1_P(f)} + E^1_C(f) + E^2_P(f) + E^2_C(f) + E^p_P(f) + E^p_C(f)$

$\color[RGB]{2,112,20}{\bm{E_M(f) = E^1_C(f) + E^2_P(f) + E^2_C(f) + E^p_P(f) + E^p_C(f)}}$

Igualando ambas energías mecánicas:

$E^1_P(i) + \cancel{E^p_P(i)} = E^1_C(f) + E^2_P(f) + E^2_C(f) + \cancel{E^p_P(f)} + E^p_C(f)$

La posición de la polea no varía y por eso puedes cancelar los términos anteriores. Si escribes cada término energético en función de las masas:

$m_1\cdot g\cdot h_i = \frac{m_1}{2}\cdot v^2 + m_2\cdot g\cdot h_i + \frac{m_2}{2}\cdot v^2 + \frac{I}{2}\cdot \omega^2_p$

Es importante tener claro que la velocidad angular de la polea se puede escribir en función de la velocidad lineal, lo que la energía cinética de la polea quedaría como:

$\omega = \frac{v}{R}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\frac{I}{2}\cdot \frac{v^2}{R^2}}}$

Agrupando términos y despejando la velocidad:

$g\cdot h_i = \frac{v^2}{2}\left(m_1 + m_1 + \frac{I}{R^2}\right)\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{v = \sqrt{\frac{2gh_i(m_1 - m_2)}{(m_1 + m_2 + \frac{I}{R^2})}}}}$

Si tienes en cuenta el momento de inercia de la polea:

$I = \frac{M}{2}\cdot R^2\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\frac{M}{2} = \frac{I}{R^2}}}$

Sustituyes los datos y calculas la velocidad:

$v = \sqrt{\frac{2\cdot 9.8\ \frac{m}{s^2}\cdot 5\ m\cdot (3 -2)\ \cancel{kg}}{(3 + 2 + 1.25)\ \cancel{kg}}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{15.7\ \frac{m}{s}}}}$

b) La aceleración la calculas teniendo en cuenta la distancia que recorre uno de los bloques y la variación de la velocidad que sufre:

$v^2 = \cancelto{0}{v^2_0} + 2ad\ \to\ a = \frac{v^2}{2d} = \frac{15.7^2\ \frac{m\cancel{^2}}{s^2}}{2\cdot 5\ \cancel{m}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{24.6\ \frac{m}{s^2}}}}$

Velocidad de los bloques de una máquina de Atwood (7406)

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