Presión total de un sistema gaseoso después de una hora

, por F_y_Q

El reactivo A se descompone según la reacción: A\ \to\ 2B + C + D, siendo una reacción homogénena en fase gaseosa. Se tiene un mol de A en un recipiente de 2 L a 120\ ^\circ\ C. Halla la presión total del recipiente al cabo de una hora a partir de los datos de la tabla siguiente:

\begin{tabular}{| c | c | c | c | c | }
\hline T (^\circ\ C) & 40 & 60 & 80 & 100\\
\hline k (M^{-1}\cdot s^{-1}) & 6,22\cdot 10^{-8} & 9,11\cdot 10^{-6} & 9,85\cdot 10^{-6} & 8,24\cdot 10^{-5}\\
\hline
\end{tabular}


SOLUCIÓN:

La estrategia que vamos a plantear para abordar el ejercicio será deteminar el valor de la constante de velocidad para la temperatura de trabajo, que son 393 K (no se puede olvidar que hay que expresarla en escala absoluta), para luego calcular la concentración final de A al cabo de una hora, siguiendo la cinética de la reacción, que es de segundo orden y que se puede deducir a partir de las unidades de la constante de velocidad. Recordemos que la unidad de la velocidad es siempre v\ (mol\cdot L^{-1}\cdot s^{-1}), por lo que la ley cinética de la reacción planteada ha de ser v = k\cdot [A]^2.
La energía de activación puede ser calculada a partir de la ecuación de Arrhenius:
ln\frac{k_1}{k_2} = \frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_1}\right)
Si despejamos la energía de activación y sustituimos por un par de datos de la tabla facilitada, seleccionaremos los datos referidos a 60 y 100 grados (aunque puede ser cualquier otro par de datos), obtendremos:

E_a = \frac{ln \left(\frac{k_1}{k_2}\right)\cdot R}{\left(\frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_1}\right)} = \frac{ln \left(\frac{9,11\cdot 10^{-6}}{8,24\cdot 10^{-5}}\right) \cdot 8,314\ J\cdot mol^{-1}}{\frac{1}{373} - \frac{1}{333}} = 5,69\cdot 10^4\ J\cdot mol^{-1}

. Ahora podemos calcular el valor de la constante de velocidad a la temperarura de trabajo, una vez que conocemos la energía de activación, usando la misma ecuación de antes pero despejando el logaritmo de la constante k_2:
ln\ k_2 = ln\ k_1 - \frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_1}\right)

k_2 = e^{ln\ 9,11\cdot 10^{-6} - \frac{5,69\cdot 10^4}{8,314}\left(\frac{1}{393} - \frac{1}{333}\right)} = 2,1\cdot 10^{-4}\ mol^{-1}\cdot L\cdot s^{-1}


Al ser una reacción de segundo orden podemos escribir su velocidad, como variación de la concentración de A con el tiempo, e integrar la expresión:
v = -\frac{d[A]}{dt} = k[A]^2\ \to\ kdt = -\frac{d[A]}{[A]^2}
Si integramos esta ecuación obtendremos la concentración de A al cabo de una hora:
\int_0^t k\cdot dt = \int_i^f -\frac{d[A]}{[A]^2}\ \to\ \frac{1}{[A]_f} = k\cdot \Delta t + \frac{1}{[A]_i}
Sustituimos en esta ecuación y luego hacemos la inversa al resultado obtenido. La concentración inicial de A es 0,5 M porque el volumen del recipiente es de 2 L:

\frac{1}{[A]_f} = \frac{1}{0,5}\ M^{-1} + 2,1\cdot 10^{-4}\ M^{-1}\cdot s^{-1}\cdot 3,6\cdot 10^3\ s = 2,756\ M^{-1}\ \to\ [A]_f = 0,363\ M


Si seguimos la estequiometría del proceso de descomposción podremos obtener las concentraciones de cada especie en el equilibrio:
[A]_{eq} = 0,363\ M ; [B]_{eq} = 0,274\ M ; [C]_{eq} = [D]_{eq} = 0,137\ M
La presión total del sistema será:
P_T = \frac{n_t\cdot R\cdot T}{V} = c_TRT
Sumamos las concentraciones en el equilibrio y sustituimos:

P_T = 0,911\frac{mol}{L}\cdot 0,082\frac{atm\cdot L}{K\cdot mol}\cdot 393\ K = \bf 29,36\ atm