Ampliación: sonda que viaja a Marte dando antes una vuelta a la Tierra (7209)

, por F_y_Q

Para ir a Marte una sonda espacial tarda 3 meses desde que despega. La velocidad de la sonda es 55\ \textstyle{km\over h} y le da una vuelta a la Tierra para aprovechar la gravedad terrestre hasta adquirir una aceleración de 5 \ \textstyle{m\over s^2} .

a) ¿Con qué velocidad llegará la sonda a Marte?

b) ¿Cuál es la distancia para ese momento entre la Tierra y Marte?

Dato: R_T  = 6\ 371\ km


SOLUCIÓN:

Si tienes en cuenta el radio de la Tierra y calculas el tiempo en el que la sonda dará una vuelta a la Tierra obtienes:

L = 2\pi\cdot R = 6.28\cdot 6\ 371\ km = 4\cdot 10^4\ km

v = \frac{L}{t}\ \to\ t = \frac{4\cdot 10^4\ \cancel{km}}{55\ \frac{\cancel{km}}{h}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 727.3\ h}

Si conviertes este tiempo en meses obtienes:

727.3\ \cancel{h}\cdot \frac{1\ \cancel{\d\acute{\imath}a}}{24\ \cancel{h}}\cdot \frac{1\ mes}{30\ \cancel{d\acute{\imath}as}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 1\ mes}

a) La sonda acelera durante dos meses, que es el tiempo que pasa desde que abandona la órbita terrestre. La sonda lleva un movimiento acelerado y la velocidad es:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{v_f = v_0 + a\cdot t}}

Cuidado con las unidades al determinar la velocidad al llegar a Marte:

v_f = 55\ \frac{km}{h} + 5\ \frac{\cancel{m}}{\cancel{s^2}}\cdot \frac{1\ km}{10^3\ \cancel{m}}\cdot \frac{3600^2\ \cancel{s^2}}{1\ h\cancel{^2}}\cdot 2\ \cancel{mes}\cdot \frac{30\ \cancel{d\acute{\imath}as}}{1\ \cancel{mes}}\cdot \frac{24\ \cancel{h}}{1\ \cancel{d\acute{\imath}a}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{9.33\cdot 10^7\ \frac{km}{h}}}}


b) La distancia que ha cubierto la sonda desde la Tierra a Marte es:

v_f^2 = v_0^2 + 2ad\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{d = \frac{v_f^2 - v_0^2}{2a}}}

Como la velocidad final es mucho más grande que la velocidad inicial puedes considerar solo la velocidad final. La aceleración la debes expresar en la unidad correcta:

d = \frac{(9.33\cdot 10^7)^2\ \frac{km\cancel{^2}}{\cancel{h^2}}}{2\cdot 6.48\cdot 10^4\ \frac{\cancel{km}}{\cancel{h^2}}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{6.72\cdot 10^{10}\ km}}}

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