Contracción de la longitud y dilatación del tiempo en una nave espacial a gran velocidad (8436)

, por F_y_Q

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Un astronauta viaja en una nave espacial a una velocidad de 0.8c (80\ \% de la velocidad de la luz) con respecto a la Tierra. La nave espacial tiene una longitud propia (medida por el astronauta en su propio marco de referencia) de 100 metros.

a) ¿Qué longitud tiene la nave espacial según un observador en la Tierra?

b) Si el astronauta mide un pulso de luz que tarda 1\ \mu s en recorrer la longitud de la nave, ¿cuánto tiempo mide un observador en la Tierra que el pulso de luz tarda en recorrer la misma distancia?

c) Un observador en la Tierra ve pasar la nave espacial. ¿Cuánto tiempo tarda, según este observador, en pasar completamente la nave por un punto dado?

P.-S.

a) La contracción de la longitud es un fenómeno relativista que describe cómo la longitud de un objeto en movimiento se acorta en la dirección del movimiento, según un observador en un marco de referencia diferente. La fórmula para la contracción de la longitud es:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{L = L_0\cdot \sqrt{(1 - \frac{v^2}{c^2}}}}

donde «L» es la longitud observada por el observador en la Tierra, «L_0» es la longitud propia de la nave espacial (100 m) y «v» es la velocidad de la nave espacial (0.8c).

Sustituyes los valores dados y calculas:

L = 100\ m\cdot \sqrt{1-\frac{0.8^2\cancel{c^2}}{\cancel{c^2}}}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf L = 60\ m}}


b) El astronauta mide un tiempo de 1\ \mu s para que el pulso de luz recorra la longitud de la nave en su propio marco de referencia. Para el observador en la Tierra, el tiempo que tarda el pulso de luz se verá afectado por la dilatación del tiempo. Esta dilatación del tiempo es:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}}}

El tiempo que mide el observador en la Tierra es:

t^{\prime} = \gamma\cdot t = \frac{1\ \mu s}{\sqrt{1 - \frac{0.8^2\cancel{c^2}}{\cancel{c^2}}}}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{t^{\prime} = 1.67\ \mu s}}}


c) La longitud de la nave para el observador en la Tierra es de 60 metros. El tiempo que tarda en pasar completamente la nave por un punto dado es el tiempo que tarda la luz en recorrer esa distancia:

t_T = \frac{L}{c} = \frac{60\ \cancel{m}}{3\cdot 10^8\ \cancel{m}\cdot s^{-1}}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{t_T = 0.2\ \mu s}}}