Energía cinética, energía total y momento lineal de un protón que se mueve a 0.99c (8400)

, por F_y_Q

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Un protón se acelera hasta alcanzar una velocidad de 0.99c, donde «c» es la velocidad de la luz en el vacío. Calcula:

a) La energía total del protón.

b) La energía cinética del protón.

c) El momento lineal del protón.

Datos: masa en reposo del protón (m_0 = 1.67\cdot 10^{-27}\ kg) ; velocidad de la luz (c = 3.00\cdot 10^8\ m\cdot s^{-1}) ; factor de Lorentz \left(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\right)

P.-S.

a) La energía total de una partícula sigue la ecuación de Einstein de la manera:

E_T = m\cdot c^2\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{E_T = \gamma\cdot m_0\cdot c^2}}

Ahora calculas el factor de Lorentz para el protón:

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{(0.99c)^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.9801}} = \frac{1}{\sqrt{0.0199}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 7.09}

La energía total es:

E_T = 7.09 \cdot 1.67 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}\cdot (3\cdot 10^8\ m\cdot s^{-1})^2 = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{1.06\cdot 10^{-9}\ J}}}


b) Para hacer el cálculo de la energía cinética del protón debes hacer la diferencia entre la energía total que has calculado y la energía del protón cuando está en reposo:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{E_C = E_T - m_0\cdot c^2}}

Sustituyes en la ecuación y calculas:

E_C = 1.06\cdot 10^{-9}\ J - 1.67\cdot 10^{-27}\ \text{kg}\cdot (3\cdot 10^8\ m\cdot s^{-1})^2 = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{9.10\cdot 10^{-10}\ J}}}


c) El momento lineal del protón es función de su masa relavista y la velocidad a la que se mueve:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{p = \gamma\cdot m_0\cdot v}}

Sustituimos y calculas:

p = 7.09\cdot 1.67\cdot 10^{-27}\ \text{kg}\cdot 0.99\cdot 3\cdot 10^8\ m\cdot s^{-1} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{3.52\cdot 10^{-18}\ kg\cdot m\cdot s^{-1}}}}