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Análisis del movimiento armónico simple de una partícula sabiendo su frecuencia (6369)

Viernes 27 de marzo de 2020, por F_y_Q

Una partícula efectúa un MAS alrededor del punto x = 0. En t = 0, su posición es de x = 0 m y v = - 60 m/s. Si la frecuencia del movimiento es de 50 Hz, determina:

a) Frecuencia angular.

b) La rapidez máxima.

c) Aceleración máxima.

d) Posición en t = 6 s.

e) Velocidad en t = 12 s.

Las condiciones iniciales que dan en el enunciado te permiten deducir la ecuación de la posición de la partícula partiendo de la ecuación general:

$\color[RGB]{2,112,20}{\bm{x = A\cdot sen\ (\omega\cdot t + \phi)}}$

Si para t = 0 la posición es x = 0:

$0 = A\cdot sen\ (\omega\cdot \cancelto{0}{t} + \phi)\ \to\ \color[RGB]{0,112,192}{\bm{\phi = 0}}$

a) A partir del dato de la frecuencia puedes obtener el valor de la frecuencia angular:

$\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 50\ Hz = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{100\pi\ \frac{rad}{s}}}}$

b) El enunciado también dice que para t = 0 la velocidad es $-60\ m/s$ . La ecuación de la velocidad es la derivada de la ecuación de la posición:

$\color[RGB]{2,112,20}{\bm{v = A\cdot \omega\cdot cos\ (\omega\cdot t)}}$

Sustituyes el tiempo para t = 0:

$v = A\cdot \omega\cdot cos\ (\omega\cdot \cancelto{0}{t}) = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{60\ \frac{m}{s}}}}$

Como $cos\ 0 = 1$ el valor de la velocidad es un valor de velocidad máxima

El valor de la amplitud del movimiento es:

$A = \frac{v_{m\acute{a}x}}{\omega} = \frac{60\ \frac{m}{\cancel{s}}}{100\pi\ \cancel{s^{-1}}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 0.19\ m}$

c) La aceleración máxima la obtienes como la derivada de la ecuación de la velocidad con respecto del tiempo:

$a = \frac{dv}{dt} = -A\cdot \omega^2\cdot sen\ (\omega\cdot t) = \color[RGB]{2,112,20}{\bm{-\omega^2\cdot x}}$

La aceleración es máxima cuando la función seno es uno, es decir, para t = 0:

$a_{m\acute{a}x} = - A\cdot \omega^2 = - 0.19\ m\cdot (100\pi)^2\ s^{-2} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{- 1.87\cdot 10^4\ \frac{m}{s^2}}}}$

d) La posición en t = 6 s:

$x = 0.19\ m\cdot sen(100\pi\ \cancel{s^{-1}}\cdot 6\ \cancel{s}) = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 0\ m}}$

Esto quiere decir que la partícula está en la posición de equilibrio a los 6 s.
e ) La velocidad para t = 12 s:

$v = 0.19\ m\cdot 100\pi\ s^{-1}\cdot cos\ (100\pi\ \cancel{s^{-1}}\cdot 12\ \cancel{s}) = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{59.7\ \frac{m}{s}}}}$

Análisis del movimiento armónico simple de una partícula sabiendo su frecuencia (6369)

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