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Relación de la elongación con la energía mecánica de un oscilador armónico (6371)
Viernes 27 de marzo de 2020, por
Una masa de 1 kg oscila unida a un resorte de constante k= 5 N/m, con movimiento armónico simple de amplitud 
.
a) Cuando la elongación es la mitad de la amplitud, calcula que fracción de la energía mecánica es cinética y que fracción es potencial.
b) ¿Cuánto vale la elongación en el punto en el que la mitad de la energía mecánica es cinética y la otra mitad potencial?
La energía mecánica de un oscilador armónico es, como siempre, la suma de sus energías potencial elástica y cinética:
![E_M = E_P + E_C\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{E_M = \frac{1}{2}kx^2 + \frac{1}{2}mv^2}}](local/cache-vignettes/L401xH46/c495b029c01f375d08500fdbcf5f6ae5-888bf.png?1733001265 "E_M = E_P + E_C\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{E_M = \frac{1}{2}kx^2 + \frac{1}{2}mv^2}}"){kind=small}
Cuando la elongación es máxima, x = A, la velocidad del oscilador es cero y eso significa que la energía mecánica solo tiene componente potencial. Si la elongación es nula, x = 0, la componente de energía potencial será nula y toda la energía mecánica será cinética, por lo que la velocidad será máxima:
![\color[RGB]{2,112,20}{\bm{E_M = \frac{1}{2}k\cdot A^2 = \frac{1}{2}m\cdot v_{m\acute{a}x}^2}}}](local/cache-vignettes/L276xH46/041c1736d7cbe25580abce1170438e4f-d4d57.png?1733001265 "\color[RGB]{2,112,20}{\bm{E_M = \frac{1}{2}k\cdot A^2 = \frac{1}{2}m\cdot v_{m\acute{a}x}^2}}}"){kind=small}
a) Debes suponer que la elongación es la mitad de la amplitud:
![E_P = \frac{1}{2}k\cdot \Big(\frac{A}{2}\Big)^2 = \frac{1}{2}k\cdot A^2\cdot \frac{1}{4} = \color[RGB]{192,0,0}{\bm{\frac{E_M}{4}}}](local/cache-vignettes/L346xH48/4953f6e59b99b50ca3763b77c42dd27e-eccf6.png?1733001265 "E_P = \frac{1}{2}k\cdot \Big(\frac{A}{2}\Big)^2 = \frac{1}{2}k\cdot A^2\cdot \frac{1}{4} = \color[RGB]{192,0,0}{\bm{\frac{E_M}{4}}}"){kind=small}
Por lo tanto, la energía cinética es:
![E_C = E_M - \frac{E_M}{4} = \color[RGB]{192,0,0}{\bm{\frac{3E_M}{4}}}](local/cache-vignettes/L233xH48/c5d62a14abdf79acb9695e2fd93817c1-c72d7.png?1733001265 "E_C = E_M - \frac{E_M}{4} = \color[RGB]{192,0,0}{\bm{\frac{3E_M}{4}}}"){kind=small}
b) Ahora la condición que debes poner es que la energía potencial es la mitad de la energía mecánica:
![E_P = \frac{E_M}{2}\ \to\ \frac{1}{2}k\cdot x^2 = \frac{1}{2}k\cdot \frac{A^2}{2}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{x^2 = \frac{A^2}{2}}}](local/cache-vignettes/L436xH50/4260179ae67a615ec02afaa5eccdb0f1-3e072.png?1733001265 "E_P = \frac{E_M}{2}\ \to\ \frac{1}{2}k\cdot x^2 = \frac{1}{2}k\cdot \frac{A^2}{2}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{x^2 = \frac{A^2}{2}}}")
Despejas la elongación y calculas:
![x = \pm \sqrt{\frac{A^2}{2}} = \pm \sqrt{\frac{(10^{-2})^2\ m^2}{2}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\pm 7.1\cdot 10^{-3}\ m}}}](local/cache-vignettes/L465xH53/f03d0972e8140c4c6811cb3df45ec82b-92fc3.png?1733001265 "x = \pm \sqrt{\frac{A^2}{2}} = \pm \sqrt{\frac{(10^{-2})^2\ m^2}{2}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\pm 7.1\cdot 10^{-3}\ m}}}")