Altura de un cuerpo en un campo gravitatorio no uniforme (8084)

, por F_y_Q

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Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra. Demuestra que la altura máxima alcanzada por el cuerpo es:

h = \frac{R_T\cdot h^{\prime}}{R_T - h^{\prime}}

donde h^{\prime} es la altura que alcanzaría si el campo gravitatorio fuera constante.

P.-S.

Para poder hacer el problema vas a tener en cuenta la energía potencial gravitatoria del objeto en ambos sistemas, uniforme y no uniforme, e igualar los valores de las dos.

Para un campo uniforme:

\left E_P = m\cdot g\cdot h^{\prime} \atop g = \frac{G\cdot M_T}{R_T^2} \right \}\ \to\ {\color[RGB]{2,112,20}{\bm{E_P = \frac{G\cdot m\cdot M_T}{R_T^2}\cdot h^{\prime}}}

Para un campo no uniforme:

E_P = \int_{R_T}^{R_T + h}{\frac{G\cdot m\cdot M_T}{r^2}\cdot dr}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{E_P = G\cdot m\cdot M_T\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{R_T + h}\right)}}

Igualas y simplificas:

\frac{\cancel{G}\cdot \cancel{m}\cdot \cancel{M_T}}{R_T^2}\cdot h^{\prime} = \cancel{G}\cdot \cancel{m}\cdot \cancel{M_T}\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{R_T + h}\right)

Debes escribir «h» en función del resto de valores. Lo puedes hacer en varios pasos:

\frac{1}{R_T + h} = \frac{1}{R_T} - \frac{h^{\prime}}{R_T^2}\ \to\ \frac{1}{R_T + h}= \frac{R_T - h^{\prime}}{R_T^2}\ \ \ (1)

Haces la inversa en cada miembro de la ecuación:

R_T + h = \frac{R_T^2}{R_T - h^{\prime}}\ \to\ h = \frac{R_T^2}{R_T - h^{\prime}} - R_T\ \ \ (2)

Operas para llegar a la expresión que te indican en el enunciado:

h = \frac{R_T^2 - (R_T^2 - R_T\cdot h^{\prime})}{R_T - h^{\prime}}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{h = \frac{R_T\cdot h^{\prime}}{R_T - h^{\prime}}}}}