Velocidad, periodo y energía de un satélite que orbita la Tierra (8404)

, por F_y_Q

|

Un satélite artificial de masa 500 kg orbita alrededor de la Tierra en una órbita circular a una altura de 400 km sobre la superficie terrestre. Sabiendo que el radio de la Tierra es de 6 370 km y que la masa de la Tierra es M_T = 5.97\cdot 10^{24}\ \text{kg}, calcula:

a) La velocidad orbital del satélite.

b) El período de la órbita.

c) La energía mecánica total del satélite en su órbita.

Dato: G = 6.674\cdot 10^{-11}\ N\cdot m^2\cdot kg^{-2}

P.-S.

a) La velocidad orbital de un satélite en una órbita circular sigue la siguiente expresión:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{v = \sqrt{\frac{G M_T}{d}}}}

La altura a la que está el satélite, con respecto al núcleo de la Tierra, es:

d = R_T + h = (6.37\cdot 10^6 + 4\cdot 10^5)\ m = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{6.77\cdot 10^6\ m}}

Solo tienes que sustituir los valores en la ecuación y calcular:

v = \sqrt{\frac{6.674\cdot 10^{-11}\ \frac{N\cdot m\cancel{^2}}{kg\cancel{^2}}\cdot 5.97\cdot 10^{24}\ \cancel{kg}}{6.77\cdot 10^6\ \cancel{m}}}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{v = 7.67\cdot 10^3\ m\cdot s^{-1}}}}


b) Puedes calcular el período de la órbita utilizando la relación entre la velocidad orbital y la circunferencia de la órbita:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{T = \frac{2\pi d}{v}}}

Sustituyes los valores conocidos:

T = \frac{2\pi \cdot 6.77\cdot 10^6\ \cancel{m}}{7.67\cdot 10^3\ \cancel{m}\cdot s^{-1}}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{T = 5.54\cdot 10^3\ s}}}


c) La energía mecánica total del satélite es la suma de su energía cinética y su energía potencial gravitatoria:

E_M = \frac{m}{2}\cdot v^2 - \frac{G\cdot M_T\cdot m}{d}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{E_M = m\left(\frac{v^2}{2} - \frac{G\cdot M_T}{d}\right)}}

Conoces todos los valores y solo tienes que sustituir y calcular:

E_M = 500\ kg\cdot \left(\frac{(7.67\cdot 10^3\ \frac{m}{s})^2}{2} - \frac{6.674\cdot 10^{-11}\ \frac{N\cdot m\cancel{^2}}{kg\cancel{^2}}\cdot 5.97\cdot 10^{24}\ \cancel{kg}}{6.77\cdot 10^6\ \cancel{m}}\right) = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{-1.47\cdot 10^{10}\ J}}}