Elevación sobre el nivel del mar a la que el peso disminuye un porcentaje dado (7951)

, por F_y_Q

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A una latitud de 45 ^o la expresión g = 9.807 - 3.32\cdot 10^{-6}\ z describe la variación de la aceleración de la gravedad en función de la altitud, en la cual g está dada en m \cdot s^{-2} y z en m. Calcula la elevación sobre el nivel del mar, en kilómetros, a la que el peso de una persona habrá disminuido en: a) 1\ \%, b) 2\ \% y c) 4\ \%.

P.-S.

El peso de un sistema viene dado en función de su masa y el valor de la gravedad en el lugar en el que se encuentra el sistema. Si tomas referencia el nivel del mar, puedes escribir:

p_0 = m\cdot g_0\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{m = \frac{p_0}{g_0}}}

El peso del sistema, a una altitud dada, quedará escrito como:

p = m\cdot g\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{p = \frac{p_0}{g_0}\cdot (9.807 - 3.32\cdot 10^{-6}\ z)}}

a) Si disminuye el peso de la persona en un 1\ \% su peso puedes expresarlo como el 99\ \% de su valor a nivel del mar, por lo que la ecuación anterior queda como:

0.99\ \cancel{p_0} = \frac{\cancel{p_0}}{g_0}(9.807 - 3.32\cdot 10^{-6}\ z)\ \to\ 0.99g_0 = (g_0 - 3.32\cdot 10^{-6}\ z)\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{z = \frac{0.01g_0}{3.32\cdot 10^{-6}}}}

Sustituyes y calculas el valor de z, pero lo debes expresar en kilómetros:

z = \frac{0.01\cdot 9.807\ \cancel{m}\cdot \cancel{s^{-2}}}{3.32\cdot 10^{-6}\ \cancel{s^{-2}}}\cdot \frac{1\ km}{10^3\ \cancel{m}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 29.54\ km}}


b) En este caso, solo tienes que considerar el porcentaje que debe disminuir en la ecuación anterior:

z = \frac{0.02\cdot 9.807\ \cancel{m}\cdot \cancel{s^{-2}}}{3.32\cdot 10^{-6}\ \cancel{s^{-2}}}\cdot \frac{1\ km}{10^3\ \cancel{m}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 59.08\ km}}


c) De manera análoga, calculas para el último valor de referencia:

z = \frac{0.04\cdot 9.807\ \cancel{m}\cdot \cancel{s^{-2}}}{3.32\cdot 10^{-6}\ \cancel{s^{-2}}}\cdot \frac{1\ km}{10^3\ \cancel{m}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 118.2\ km}}